Як визначити потенціали точок
Поняття потенціалу знайшло дуже широке поширення не тільки в науці і техніці, але і в побуті. Так напруга в електричній мережі - це різницю потенціалів. Найбільш чітко це поняття досліджено в теорії поля, де воно виникає при вивченні спеціальних полів, частина яких є потенційними.
1
Векторне поле утворює векторна величина, задана у вигляді функції точок поля М (x, y, z). Позначається як F = F (M) = F (x, y, z) або F = i P (x, y, z) + j Q (x, y, z) + k R (x, y, z), де P, Q, R - координатні функції. Найбільше застосування векторні поля отримали в теорії електромагнітного поля.
2
Векторне поле називається потенційним в деякій області, якщо його можна представити у вигляді F (M) = grad (f (M)). При цьому f (M) = f (x, y, z) називається скалярним потенціалом векторного поля. Якщо F (M) = {P, Q, R}, то P =&partf /&partх, Q =&partf /&party, R =&partf /&partz. Відомо, що для будь-якої скалярної функції f ротор її градієнта rot (gradf) = 0. Це рівність є необхідною і достатньою умовою потенційності F (M). Його можна перефразувати у вигляді:&part-Q /&part-х =&part-P /&part-y, &part-P /&part-z =&part-R /&part-х, &part-R /&part-y =&part-Q /&part-z.
3
Як визначити bпотенціали / b точок" class ="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel ="gallery-step-images"gt; Обчислення потенціалу f потенційного поля F = i P (x, y, z) + j Q (x, y, z) + k R (x, y, z) проводиться на основі того, що в силу визначення df = F dr (мається на увазі скалярне твір). Тоді f = (Мо М) F dr = (Мо М) P dx + Q dy + R dz є криволінійний інтеграл другого роду уздовж довільної лінії від Мо до змінної точці М. Найпростіше використовувати ламану, відрізки якої паралельні координатним осях (умова потенційності збігається з умовою незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування) (див. рис. 1).
4
Приступите до вирішення. Позначте x *, y *, z * координати змінної точки на шляху інтегрування. На відрізку моа y * = yo, z * = zo, dy * = 0, dz * = 0 і (Мо А) Fdr = (Xо x) P (x *, yo, zo) dx * .На АВ x * = x, z * = zo, dx * = 0, dz * = 0 і (А В) F dr = (Yо y) Q (x, y *, zo) dy * .На ВМ x * = x, y * = y, dx * = 0, dy * = 0 і (В М) F dr = (zо z) R (x, y, z *) dz *. Остаточно, f = (Xо x) P (x *, yo, zo) dx * + (Yо y) Q (x, y *, zo) dy * + (zо z) R (x, y , z *) dz *.
5
Приклад. Дано векторне поле F (x, y, z) = (2x y + z) i + (x ^ 2-2y) j + x k. Знайти його потенціал в точці М (1,2,1). Рішення. Перевірте, чи є задане поле потенційним. Для цього можна обчислити його ротор, але простіше використовувати рівності &part-Q /&part-х =&part-P /&part-y, &part-P /&part-z =&part-R /&part-х, &part-R /&part-y =&part-Q /&part-z. Тут P = 2x y + z, Q = x ^ 2-2y, R = x. &part-Q /&part-х = 2x, &part-P /&part-y = 2x - перша рівність виконано. &part-P /&part-z = 1, &part-R /&part-х = 1 друга рівність виконано. &part-R /&part-y = 0, &part-Q /&part-z = 0 - виконано і третє рівність. Тепер обчисліть потенціал, прийнявши за початкову точку (0,0,0) - це найпростіше. f = (0 x) 0 dx * + (0 y) (x ^ 2-y *) dy * + (0 z) x dz * = (x ^ 2) yy ^ 2 + x z. f (1,2,1) = - 1.
Зверніть увагу
(Мо М) - вигнутий інтеграл в межах дуги (від точки Мо до точки М, що належать дузі).
Статті за темою "Як визначити потенціали точок"
Оцініть, будь ласка статтю