Як обчислити невизначений інтеграл
Інтегрування є значно складнішим процесом, ніж диференціювання. Не дарма часом його порівнюють з грою в шахи. Адже для його здійснення недостатньо просто запам`ятати таблицю - необхідно підходити до вирішення завдання творчо.
1
Чітко засвойте, що інтегрування - процес, зворотний диференціювання. У більшості підручників функція, що отримується в результаті інтегрування, позначається як F (x) і носить назву первісної. Похідна первісної дорівнює F `(x) = f (x). Наприклад, якщо в завданні дана функція f (x) = 2x, процес інтегрування виглядає наступним чином:
2x = x ^ 2 + C, де C = const, за умови, що F `(x) = f (x)
Процес інтегрування функції можна записати і в інший спосіб:
f (x) = F (x) + C
2x = x ^ 2 + C, де C = const, за умови, що F `(x) = f (x)
Процес інтегрування функції можна записати і в інший спосіб:
f (x) = F (x) + C
2
Обов`язково запам`ятайте такі властивості інтегралів:
1. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів:
[f (x) + z (x)] = f (x) + z (x)
Для доказу цього властивості візьміть похідні від лівої і правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічне властивість суми похідних, пройдене вами раніше.
2. Постійний множник виноситься за знак інтеграла:
AF (x) = A F (x), де A = const.
1. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів:
[f (x) + z (x)] = f (x) + z (x)
Для доказу цього властивості візьміть похідні від лівої і правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічне властивість суми похідних, пройдене вами раніше.
2. Постійний множник виноситься за знак інтеграла:
AF (x) = A F (x), де A = const.
3
Прості інтеграли обчислюються з використанням спеціальної таблиці. Однак, найчастіше в умовах задач зустрічаються складні інтеграли, для вирішення яких знання таблиці недостатньо. Доводиться вдаватися до використання ряду додаткових методів. Перший з них полягає в інтегруванні функції шляхом її підведення під знак диференціала:
f (d (x) z `(x) dx = f (u) d (u)
Під u мається на увазі складна функція, яка і перетворюється в просту.
f (d (x) z `(x) dx = f (u) d (u)
Під u мається на увазі складна функція, яка і перетворюється в просту.
4
Існує також кілька більш складний метод, який зазвичай застосовується в разі, якщо необхідно проінтегрувати складну тригонометричну функцію. Він полягає в інтегруванні частинами. Виглядає це наступним чином:
udv = uv- vdu
Уявіть собі, наприклад, що даний інтеграл x * sinx dx. Позначте х як u, а dv - як sinxdx. Відповідно, v = -cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення в вищевказану формулу, отримаєте такий вираз:
x * sinxdx = -x * cosx- (-cosx) = sinx-x * cosx + C, де С = const.
udv = uv- vdu
Уявіть собі, наприклад, що даний інтеграл x * sinx dx. Позначте х як u, а dv - як sinxdx. Відповідно, v = -cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення в вищевказану формулу, отримаєте такий вираз:
x * sinxdx = -x * cosx- (-cosx) = sinx-x * cosx + C, де С = const.
5
Ще один метод полягає в заміні змінної. Він застосовується в тому випадку, якщо під знаком інтеграла є вираження зі ступенями або корінням. Формула заміни змінної зазвичай має такий вигляд:
[ f (x) dx] = f [z (t)] z `(t) dt, причому, t = z (t)
[ f (x) dx] = f [z (t)] z `(t) dt, причому, t = z (t)
Статті за темою "Як обчислити невизначений інтеграл"
Оцініть, будь ласка статтю