Як знайти невизначені інтеграли
Інтегрування і диференціювання - основи математичного аналізу. У інтегруванні, в свою чергу, головну роль відіграють поняття певного і невизначеного інтеграла. Знання, що таке невизначений інтеграл, і вміння правильно його знаходити необхідні кожному, хто вивчає вищу математику.
1
Поняття невизначеного інтеграла виводиться з поняття первісної функції. Функція F (x) називається первісною для функції f (x), якщо на всій області її визначення F `(x) = f (x).
2
У будь-якої функції з одним аргументом може бути не більше однієї похідної. Однак з первісних це не так. Якщо функція F (x) є первісною для f (x), то функція F (x) + C, де C - будь-яка ненульова константа, теж буде для неї первісної.
3
Дійсно, за правилом диференціювання (F (x) + C) `= F` (x) + C `= f (x) + 0 = f (x). Таким чином, будь-яка первісна для f (x) виглядає як F (x) + C. Цей вираз називається невизначеним інтегралом функції f (x) і позначається f (x) dx.
4
Якщо функція виражається через елементарні функції, то її похідна теж завжди виражається через елементарні функції. Однак для первісних це також невірно. Цілий ряд простих функцій, таких як sin (x ^ 2), мають невизначені інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Інтегрувати їх можна тільки наближено, чисельними методами, проте такі функції відіграють важливу роль в деяких областях математичного аналізу.
5
Найпростіші формули для невизначених інтегралів виводяться з правил диференціювання. Наприклад, (x ^ 2) dx = (x ^ 3) / 3, оскільки (x ^ 3) `= 3x ^ 2. Взагалі, для будь-якого n -1 вірно, що (x ^ n) dx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1).
При n = -1 цей вислів втрачає сенс, однак функція f (x) = 1 / x, тим не менш, інтегрована. (1 / x) dx = dx / x = ln | x | + C. Зверніть увагу, що функція ln | x |, на відміну від функції ln (x), визначена на всій дійсній осі, за винятком нуля, точно так же, як і функція 1 / x.
При n = -1 цей вислів втрачає сенс, однак функція f (x) = 1 / x, тим не менш, інтегрована. (1 / x) dx = dx / x = ln | x | + C. Зверніть увагу, що функція ln | x |, на відміну від функції ln (x), визначена на всій дійсній осі, за винятком нуля, точно так же, як і функція 1 / x.
6
Якщо функції f (x) і g (x) інтегровними, то їх сума також інтегрована, і (f (x) + g (x) dx = f (x) dx + g (x) dx. Якщо функція f (x) інтегрована, то af (x) dx = a f (x) dx. Ці правила можна комбінувати.
Наприклад, (x ^ 2 + 2x + 1) dx = (x ^ 3) / 3 + x ^ 2 + x + C.
Наприклад, (x ^ 2 + 2x + 1) dx = (x ^ 3) / 3 + x ^ 2 + x + C.
7
Якщо f (x) dx = F (x), то f (x + a) dx = F (x + a) + C. Це називається підведенням під знак диференціала постійного доданка. Під знак диференціала можна підвести і постійний множник: f (ax) dx = F (ax) / a + C. Комбінуючи ці два прийоми, отримаємо: f (ax + b) dx = F (ax + b) / a + C. Наприклад, якщо f (x) = sin (2x + 3), то f (x) dx = -cos (2x + 3) / 2 + C.
8
Якщо інтегруються функцію можна представити у вигляді f (g (x)) * g `(x), наприклад, sin ^ 2 (x) * 2x, то ця функція інтегрується методом заміни змінної: f (g (x)) * g `(x) dx = f (g (x)) dg (x) = F (g (x)) + C. Ця формула виводиться з формули похідної складної функції: f (g (x))` = f `( g (x)) * g `(x).
9
Якщо інтегруються функцію можна представити у вигляді u (x) * v `(x), то u (x) * v` (x) dx = uv - v (x) * u `(x) dx. Це метод інтегрування частинами. Він використовується, коли похідна від u (x) набагато простіше, ніж від v (x).
Наприклад, нехай f (x) = x * sin (x). Тут u (x) = x, v `(x) = sin (x), отже, v (x) = -cos (x), а u` (x) = 1. Тоді f (x) dx = - x * cos (x) - (-cos (x)) dx = sin (x) - x * cos (x) + C.
Наприклад, нехай f (x) = x * sin (x). Тут u (x) = x, v `(x) = sin (x), отже, v (x) = -cos (x), а u` (x) = 1. Тоді f (x) dx = - x * cos (x) - (-cos (x)) dx = sin (x) - x * cos (x) + C.
Статті за темою "Як знайти невизначені інтеграли"
Оцініть, будь ласка статтю