Як побудувати перетин тетраедра

Якщо на ребрах тетраедра ABCD відзначені точки V (на ребрі AB), R (на ребрі BD) і T (на ребрі CD), а за умовою задачі потрібно побудувати перетин тетраедра площиною VRT, то побудуйте, перш за все, пряму, по якій площина VRT буде перетинатися з площиною ABC. В даному випадку точка V буде загальною для площин VRT і ABC.

Для того щоб побудувати ще одну спільну точку, продовжите відрізки RT і BC до їх перетину в точці K (дана точка і буде другий загальною точкою для площин VRT і ABC). З цього випливає, що площині VRT і ABC перетинатися будуть по прямій VК.

У свою чергу пряма VК перетне ребро АС в точці L. Таким чином, чотирикутник VRTL і є шуканим перетином тетраедра, побудувати яке потрібно було за умовою задачі.

Зверніть увагу на те, що, якщо прямі RT і BC паралельні, то пряма RT паралельна грані АВС, тому площину VRT перетинає дану межу по прямій VК `, яка паралельна прямій RT. А точка L буде точкою перетину відрізка АС з прямою VК `. Переріз тетраедра буде все тим же чотирикутником VRTL.

Припустимо, відомі такі вихідні дані: точка Q знаходиться на бічній грані ADB тетраедра ABCD. Потрібно побудувати перетин цього тетраедра, яке б проходило через точку Q і було б паралельним основи ABC.

З огляду на те, що січна площина паралельна основі ABC, вона також буде паралельна прямим АВ, ВС і АС. А значить, січна площина перетинає бічні грані тетраедра ABCD за прямими, які паралельні сторонам трикутника-підстави АВС.

Проведіть з точки Q пряму паралельно відрізку АВ і позначте точки перетину даної прямої з ребрами AD і BD буквами M і N.

Потім через точку M проведіть пряму, яка б проходила паралельно відрізку АС, і позначте точку перетину даної прямої з ребром CD буквою S. Трикутник MNS і є шуканим перетином.