Як знайти вектор, перпендикулярний даному
В геометрії вектор визначається як впорядкована пара точок, одну з яких вважають його початком, іншу - кінцем. У нарисної геометрії побудувати вектор, перпендикулярний заданому, можна за допомогою транспортира відмірявши потрібний кут і накресливши відповідний відрізок. В аналітичній геометрії для обчислення координат такого спрямованого відрізка доведеться задіяти правила скалярних операцій з векторами.
1
Якщо вихідний вектор зображений на кресленні в прямокутної двомірної системі координат і перпендикулярний йому потрібно побудувати там же, виходите з визначення перпендикулярності векторів на площині. У ньому йдеться, що кут між такою парою спрямованих відрізків має дорівнювати 90 °. Таких векторів можна побудувати безліч. Тому накресліть в будь-якому зручному місці площині перпендикуляр до вихідного вектору, відкладіть на ньому відрізок, рівний довжині заданої впорядкованої пари точок і призначте один з його кінців початком перпендикулярного вектора. Зробіть це за допомогою транспортира і лінійки.
2
Якщо ж вихідний вектор заданий двомірними координатами = (X -Y ), виходите з того, що скалярний твір пари перпендикулярних векторів має дорівнювати нулю. Це означає, що вам треба підібрати для шуканого вектора = (X , Y ) такі координати, при яких буде виконуватися рівність ( , ) = X * X + Y * Y = 0. Це можна зробити так: виберіть будь-нульове значення для координати X , а координату Y розрахуйте за формулою Y = - (X * X ) / Y . Наприклад, для вектора = (15-5) перпендикулярним буде вектор , з абсцисою, що дорівнює одиниці, і ординатою, що дорівнює - (15 * 1) / 5 = -3, тобто = (1-3).
3
Для тривимірної і будь-який інший ортогональної системи координат вірно те ж саме необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів - їх скалярний твір має дорівнювати нулю. Тому, якщо вихідний спрямований відрізок заданий координатами = (X , Y , Z ), підберіть для перпендикулярної йому впорядкованої пари точок = (X , Y , Z ) такі координати, при яких виконується умова ( , ) = X * X + Y * Y + Z * Z = 0. Найпростіше привласнити координатам X і Y поодинокі значення, а Z розрахувати з спростити рівності Z = -1 * (X * 1 + Y * 1) / Z = - (X + Y ) / Z . Наприклад, для вектора = (3,5,4) ця формула набуде такого вигляду: ( , ) = 3 * X + 5 * Y + 4 * Z = 0. Тоді абсциссу і ординату перпендикулярного вектора прийміть за одиницю, а аппликата в цьому випадку буде дорівнює - (3 + 5) / 4 = -2.
Рада 2: Як знайти перпендикулярний вектор
перпендикулярними називаються вектора, кут між якими становить 90 . Перпендикулярні вектора будуються за допомогою креслярських інструментів. Якщо відомі їх координати, то перевірити чи знайти перпендикулярність векторів можна аналітичними методами.
Вам знадобиться
- - транспортир;
- - циркуль;
- - лінійка.
Інструкція
1
Побудуйте вектор перпендикулярний даному. Для цього в точці, яка є початком вектора, відновіть до нього перпендикуляр. Це можна зробити за допомогою транспортира, відклавши кут 90 . Якщо транспортира немає, зробіть це циркулем.
2
Встановіть його в точку початку вектора. Проведіть окружність довільним радіусом. Потім побудуйте дві окружності з центрами в точках, де перша окружність перетнула пряму, на якій лежить вектор. Радіуси цих кіл повинні бути рівні між собою і більше радіуса першої побудованої окружності. На точках перетину кіл побудуйте пряму, яка буде перпендикулярна вихідного вектору в точці його початку, і відкладіть на ній вектор, перпендикулярний даному.
3
Визначте перпендикулярність двох довільних векторів. Для цього за допомогою паралельного перенесення побудуйте їх так, щоб вони виходили з однієї точки. Виміряйте кут між ними, за допомогою транспортира. Якщо він дорівнює 90 , то вектора перпендикулярні.
4
Знайдіть вектор, перпендикулярний того, координати якого відомі і рівні (x-y). Для цього знайдіть таку пару чисел (x1-y1), яка задовольняла б рівності x • x1 + y • y1 = 0. У цьому випадку вектор з координатами (x1-y1) буде перпендикулярний вектору з координатами (x-y).
5
ПрімерНайдіте вектор, перпендикулярний вектору з координатами (3-4). Використовуйте властивість перпендикулярних векторів. Підставивши в нього координати вектора, отримаєте вираз 3 • x1 + 4 • y1 = 0. Підберіть пари чисел, які роблять це тотожність вірним. Наприклад, пара чисел x1 = -4- y1 = 3 робить тотожність вірним. Значить, вектор з координатами (-4-3) буде перпендикулярний даному. Таких пар чисел можна підібрати безліч, а тому і векторів теж нескінченно багато.
6
Перевіряйте перпендикулярність векторів за допомогою тотожності x • x1 + y • y1 = 0, де (x-y) і (x1-y1) координати двох векторів. Наприклад, вектора з координатами (3-1) і (-3-9) перпендикулярні, так як 3 • (-3) + 1 • 9 = 0.
Статті за темою "Як знайти вектор, перпендикулярний даному"
Оцініть, будь ласка статтю