Як обчислити скалярний добуток векторів

В полярній системі координат їх зображують радіус-векторами точок його кінця (початок знаходиться на початку координат). Вектори прийнято позначати наступним чином (див. Рис.1). Довжина вектора або його модуль позначається | a |. В декартових координатах вектор задається координатами його кінця. Якщо а має деякі координати (x, y, z), то записи виду а (x, y, a) = а = {x, y, z} необхідно вважати рівнозначними. При використанні векторів-ортов координатних осей i, j, k, координати вектора а будуть мати такий вигляд: а = xi + yj + zk.

Скалярним добутком векторів a і b називається число (скаляр) дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними (див. Рис. 2): (a, b) = | a || b | cos .
Скалярний добуток векторів має такі властивості:
1. (a, b) = (b, a) -
2. (a + b, c) = (a, c) + (b, c);
3. | a | 2 = (a, a) - скалярний квадрат.
Якщо два вектори розташовані під кутом 90 градусів по відношенню один до одного (ортогональні, перпендикулярні), то їх скалярний добуток дорівнює нулю, так як косинус прямого кута дорівнює нулю.

Приклад. Необхідно знайти скалярний добуток двох векторів, заданих в декартових координатах.
Нехай а = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}. Або а = x1i + y1j + z1k, b = x2 i + y2 j + z2k.
Тоді (a, b) = (x1i + y1j + z1k, x2 i + y2 j + z2k) = (x1x2) (i, i) + (x1y2) (i, j) + (x1z2) (i, k) + (y1x2) (j, i) + (y1y2) (j, j) +
+(Y1z2) (j, k) + (z1x2) (i, i) + (z1y2) (i, j) + (z1z2) (i, k).

У цьому виразі від нуля відмінні тільки скалярні квадрати, так як різнойменні координатні орти ортогональні. З урахуванням того, що модуль будь-якого вектора-орта (то ж і для i, j, k) - одиниця, маємо (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1. Таким чином, від вихідного вираження залишилося (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Якщо задати координати векторів деякими числами, то отримаємо наступне:
а = {10, -3, 1}, b = {- 2, 5, -4}, тоді (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 = -20-15-4 = -39.