метод Гаусса
Припустимо, що необхідно вирішити систему лінійних рівнянь такого вигляду:
1) Х1 + Х2 + Х4 = 0
2) -х2-Х3-5Х4 = 0-
3) -4Х2-Х3-7Х4 = 0-
4) 3Х2-3Х3-2Х4 = 0-
Як видно, все мається чотири змінних, які треба знайти. Є кілька способів зробити це.
Для початку, необхідно записати рівняння системи у вигляді матриці. В даному випадку вона буде мати три колонки і чотири рядки:
Х1Х2 Х4
-х2х3 5х4
-4Х2 Х3 -7Х4
3Х2-3Х3 -2Х4
Першим і найбільш простим способом вирішення є підстановка змінної з одного рівняння системи в інше. Таким чином, можна домогтися того, що всі змінні, крім однієї будуть виключені і залишиться тільки одне рівняння.
Наприклад, можна вивести і підставити змінну Х2 з другого рядка в першу. Ця процедура може бути виконана і для інших рядків. В результаті з першого стовпчика будуть виключені всі змінні, крім однієї.
Потім виключення Гаусса необхідно аналогічно застосувати і до другій колонці. Далі таким же методом можна вчинити і з іншими рядками матриці.
Таким чином, всі рядки матриці набувають трикутний вид в результаті цих дій:
0 Х10
0 Х20
00 0
Х3 0 Х4
Метод Джордана-Гаусса
Виняток Джордана-Гаусса включає додатковий крок. За допомогою нього усуваються всі змінні, крім чотирьох, і матриця набуває практично ідеальний діагональний вигляд:
Х1 0 0
0 Х20
0 Х30
0 0 Х4
Далі можна шукати значення цих змінних. В даному випадку, x1 = -1, x2 = 2 і так далі.
Необхідність резервного заміщення вирішується для кожної змінної окремо, як в гауссова заміщення, тому всі непотрібні елементи будуть усунені.
Додаткові операції у виключенні Джордана-Гаусса грають роль підстановки змінних в матриці діагональної форми. Це влаштовує кількість обчислень, необхідних, навіть в порівнянні з операціями резервного заміщення Гаусса. Однак це допомагає знайти значення невідомий з більшою точністю і допомагає краще прораховувати відхилення.
недоліки
Додаткові операції методу Джордана-Гаусса підвищують ймовірність виникнення помилки і збільшують час, необхідний на обчислення. Недоліком обох є те, що вони вимагають правильного алгоритму. Якщо послідовність дій збивається, то результат теж може виявитися неправильним.
Саме тому такі методи найчастіше використовуються не для обчислень на папері, а для комп`ютерних програм. Реалізувати їх можна практично будь-яким способом і на всіх мовах програмування: від Basic до С.
