Як вирішувати однорідні системи лінійних рівнянь

В першу чергу, зверніть увагу на те, що будь-яка однорідна система рівнянь завжди сумісна, що означає, що вона завжди має рішення. Це обгрунтовується самим визначенням однорідності даної системи, а саме нульовим значенням вільного члена.

Одним з тривіальних рішень такої системи є нульове рішення. Щоб переконатися в цьому, підставте нульові значення змінних і порахуйте загальну суму в кожному рівнянні. Ви отримаєте правильне тотожність. Так як вільні члени системи дорівнюють нулю, то нульові значення змінних рівнянь складають одне з безлічі рішень.

З`ясуйте, чи існують інші рішення у даній системи рівнянь. Для цієї мети вам необхідно записати матрицю системи. Матриця системи рівнянь складається з коефіцієнтів. що стоять перед змінними. Номер матричного елемента містить в собі, по-перше, номер рівняння, по-друге, номер змінної. За даним правилом можна визначити, в яке місце матриці необхідно поставити коефіцієнт. Зауважте, що в разі рішення однорідної системи рівнянь немає необхідності записувати матрицю вільних членів, бо вона дорівнює нулю.

Наведіть матрицю системи до східчастого увазі. Цього можна досягти, застосовуючи елементарні матричні перетворення, які полягають в підсумовуванні або відніманні рядків, а також в множенні рядків на деяке число. Всі перераховані операції не впливають на результат вирішення, а просто дозволяють записати матрицю в зручному вигляді. Ступінчастість матриці означає, що всі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, повинні бути рівні нулю.

Запишіть нову матрицю, отриману в результаті еквівалентних перетворень. Перепишіть систему рівнянь, виходячи з знань нових коефіцієнтів. Ви повинні отримати в першому рівнянні кількість членів лінійної комбінації, що дорівнює загальному числу змінних. У другому рівнянні кількість членів має бути на одиницю менше, ніж в першому. Саме останнє рівняння системи має містити тільки одну змінну, що дозволяє знайти її значення.

Визначте значення останньої змінної з останнього рівняння. Далі підставте це значення в попереднє рівняння, виявляючи таким чином значення передостанній змінної. Продовжуючи цю процедуру раз по раз, переходячи від одного рівняння до іншого, ви знайдете значення всіх необхідних змінних.