Як знайти площу паралелограма, побудованого на векторах

У тому випадку, якщо відомі довжини векторів і кут між ними, то для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, знайдіть твір їх модулів (довжин векторів), на синус кута між ними S = a • b • sin ( ).

Якщо вектори задані в декартовій системі координат, то для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на них, виконайте наступні дії:

Знайдіть координати векторів, якщо вони не дані відразу, віднявши від відповідних координат кінців векторів, координати з начал. Наприклад, якщо координати початкової точки вектора (1--3-2), а кінцевою (2--4--5), то координати вектора будуть (2-1--4 + 3--5-2) = (1 --1--7). Нехай координати вектора а (x1-y1-z1), вектора b (x2-y2-z2).

Знайдіть довжини кожного з векторів. Зведіть кожну з координат векторів в квадрат, знайдіть їх суму x1 + y1 + z1 . З отримав результату витягніть корінь квадратний. Для другого вектора виконайте ту ж процедуру. Таким чином, вийде a і b .

Знайдіть скалярний добуток векторів. Для цього перемножте їх відповідні координати і складіть твори a b = x1 • x2 + y1 • y2 + z1 • z2.

Визначте косинус кута між ними для чого скалярний добуток векторів, що вийшло в п.3 поділіть на твір довжин векторів, які були розраховані в п. 2 (Cos ( ) = a b / ( a • b )).

Синус отриманого кута дорівнюватиме кореню квадратному з різниці числа 1, і квадрата косинуса того ж кута, розрахованого в п. 4 (1-Cos ( )).

Розрахуйте площа паралелограма, побудованого на векторах знайшовши твір їх довжин, обчислене в п. 2, а результат помножте на число, що вийшло після розрахунків в п.5.

У тому випадку, якщо координати векторів задані на площині, при розрахунках координата z просто відкидається. Даний розрахунок є числовим виразом векторного добутку двох векторів.