Як довести, що діагоналі рівнобедреної трапеції рівні

Накресліть ескіз рівнобедреної трапеції. Опустіть з вершин на верхньому підставі перпендикуляри на нижню підставу. Вихідна фігура тепер складена з прямокутника і двох прямокутних трикутників. Розгляньте ці трикутники. Вони рівні, оскільки мають рівні катети (перпендикуляри між паралельними підставами трапеції) і гіпотенузи (по боках рівнобедреної трапеції).

З рівності розглянутих трикутників випливає, що рівні всі їх елементи. Але трикутники адже є частиною трапеції. Значить, кути при великому підставі рівнобедреної трапеції рівні. Це твердження стане в нагоді для побудови подальшого докази.

Знову накресліть рівнобедрений трапецію. проведіть в трапеції діагональ і розгляньте трикутник, утворений бічною стороною трапеції, її більшими підставами і проведеної діагоналлю. Проведіть другу діагональ і розгляньте ще один трикутник, утворений більшими підставами, другий бічний стороною і другий діагоналлю трапеції. Порівняйте розглянуті трикутники.

У розглянутих фігур велике підставу трапеції є спільною стороною. Значить, в трикутниках по дві рівних боку. На підставі доведеного в пункті 2 затвердження рівні кути між відповідно рівними сторонами трикутників. За першою ознакою рівності трикутників, розглянуті фігури рівні. Отже рівні і їх треті сторони, які є діагоналями рівнобедреної трапеції. При подальшому вирішенні геометричних задач рівність діагоналей рівнобедреної трапеції можна застосовувати як вже доведене властивість цієї фігури.