Як вирішувати рівняння

У самій загальній і простий класифікації рівняння можна розділити за кількістю змінних, в них містяться, і за ступенями, в яких ці змінні стоять.

Вирішити рівняння означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Будь-яке рівнянь має не більше P коренів, де P - максимальна ступінь даного рівняння.

Але частина цих коренів може і збігатися. Так, наприклад, рівняння х ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, де ^ - значок зведення в ступінь, згортається в квадрат вирази (х + 1), тобто в добуток двох однакових дужок, кожна з яких дає х = - 1 в якості рішення.

Якщо в рівнянні всього одна невідома, це означає, що вам вдасться в явному вигляді знайти його коріння (дійсні або комплексні).

Для цього скоріше за все знадобляться, різні перетворення: формули скороченого множення, формула обчислення дискримінанту і коренів квадратного рівняння, перенесення доданків з однієї частини в іншу, приведення до спільного знаменника, множення обох частин рівняння на одне і теж вираз, зведення в квадрат та інше.

Перетворення, які не впливають на корені рівняння, називаються тотожними. Вони використовуються для спрощення процесу вирішення рівняння.

Також ви можете замість традиційного аналітичного скористатися графічним методом і записати дане рівняння у вигляді функції, провівши потім її дослідження.

Якщо в рівнянні невідомих більше однієї, то вам вдасться лише висловити одну з них через іншу, показавши тим самим набір рішень. Такі, наприклад, рівняння з параметрами, в яких присутня невідома x і параметр а. Вирішити параметричне рівняння - значить для всіх а висловити х через а, тобто розглянути всі можливі випадки.

Якщо в рівнянні стоять похідні або диференціали невідомих (дивись картинку), вітаю, це диференціальне рівняння, і тут вам не обійтися без вищої математики).

Кубічне рівняння в загальному вигляді виглядає так: ax&# 179- + bx&# 178- + cx + d = 0, a не дорівнює 0- a, b, c, d - дійсні числа. Універсальним методом вирішення рівняння третього ступеня є метод Кардано.

Для початку наводимо рівняння до виду y&# 179- + py + q = 0. Для цього проводимо заміну змінної x на y - b / 3a. Підстановку заміни дивіться на малюнку. Для розкриття дужок використовуються дві формули скороченого множення: (a-b)&# 179- = a&# 179- - 3a&# 178-b + 3ab&# 178- - b&# 179- і (a-b)&# 178- = a&# 178- - 2ab + b&# 178-. Потім приводимо подібні доданки і групуємо за ступенями змінної y.

Тепер, щоб отримати при y&# 179- одиничний коефіцієнт, ділимо всі рівняння на a. Тоді отримаємо такі формули для коефіцієнтів p і q в рівнянні y&# 179- + py + q = 0.

Потім обчислюємо спеціальні величини: Q, &# 945-, &# 946-, які дозволять обчислити корінь рівняння з y.

Тоді три кореня рівняння y&# 179- + py + q = 0 обчислюються за формулами на малюнку.

якщо Q gt; 0, то рівняння y&# 179- + py + q = 0 має тільки один речовий корінь y1 = &# 945- + &# 946- (і два комплексних, обчисліть їх за відповідними формулами, якщо необхідно).
Якщо Q = 0, то всі корені речовинні і принаймні два з них збігаються, при цьому &# 945- = &# 946- і коріння рівні: y1 = 2&# 945-, y2 = y3 = -&# 945-.
якщо Q lt; 0, то коріння речовинні, але необхідно вміння отримувати корінь з від`ємного числа.

Після знаходження y1, y2 і y3 підставте їх в заміну x = y - b / 3a і знайдіть коріння початкового рівняння.