Як знайти кут між векторами

Кут між двома ненульовими векторами визначається за допомогою обчислення скалярного твори. За визначенням скалярний добуток дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними. З іншого боку, скалярний твір для двох векторів a з координатами (x1- y1) і b з координатами (x2- y2) обчислюється за формулою: ab = x1x2 + y1y2. З цих двох способів знаходження скалярного твори легко знайти кут між векторами.

Знайдіть довжини або модулі векторів. Для наших векторів a і b: | a | = (X1&# 178- + y1&# 178 -) ^ 1/2, | b | = (X2&# 178- + y2&# 178 -) ^ 1/2.

Знайдіть скалярний добуток векторів, перемноживши їх координати попарно: ab = x1x2 + y1y2. З визначення скалярного твори ab = | a | * | b | * cos &# 945-, де &# 945- - кут між векторами. Тоді отримаємо, що x1x2 + y1y2 = | a | * | b | * cos &# 945-. тоді cos &# 945- = (x1x2 + y1y2) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2) / ((x1&# 178- + y1&# 178 -) (x2&# 178- + y2&# 178 -)) ^ 1/2.

Знайдіть кут &# 945- за допомогою таблиць Брадіса.

У разі тривимірного простору додається третя координата. Для векторів a (x1- y1- z1) і b (x2- y2- z2) формула для косинуса кута представлена на малюнку.

Кут між векторами в векторному лінійному просторі - мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленнимі векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (див. Малюнок до кроку).

При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.

При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. Малюнок до кроку).

Результат скалярного твори - число, інакше скаляр. Запам`ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. Малюнок до кроку).

Цей вислів справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. Малюнок до кроку).

Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовой, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. Малюнок до кроку).

Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок проводите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному - це складова відповідає за аплікат, тобто третього компоненту вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється в такий спосіб (див. Рисунок 6 до кроку).