Як знайти синус кута між векторами
Вектор в багатовимірному евклідовому просторі задається координатами своєї початкової точки і точки, що визначає його величину і напрямок. Різниця між напрямками двох таких векторів визначається величиною кута. Часто в різного роду завданнях з області фізики і математики пропонується знайти не сам цей кут, а величину похідної від нього тригонометричної функції - синуса.
1
Використовуйте для визначення синуса кута між двома векторами відомі формули скалярного множення векторів. Таких формул існує, як мінімум, дві. В одній з них в якості змінної задіяний косинус потрібного кута, дізнавшись який ви зможете обчислити і синус.
2
Складіть рівність і виокремити з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів одно їх довжини, перемноження друг на дружку і на косинус кута, а по інший - сумі творів координат уздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кута має дорівнювати відношенню суми творів координат до твору довжин векторів.
3
Запишіть отримане рівність. Для цього треба позначити координати обох векторів. Припустимо, вони дані в тривимірній декартовій системі і їх початкові точки перенесені на початок координатної сітки. Напрямок та величина першого вектора буде задана точкою (X , Y , Z ), другого - (X , Y , Z ), а кут позначте буквою . Тоді довжини кожного з векторів можна вирахувати, наприклад, по теоремі Піфагора для трикутників, утворених їх проекціями на кожну з координатних осей: (X + Y + Z ) і (X + Y + Z ). Підставте ці вирази в сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте таке рівність: cos ( ) = (X * X + Y * Y + Z * Z ) / ( (X + Y + Z ) * (X + Y + Z )).
4
Використовуйте той факт, що сума зведених в квадрат значень синуса і досинуса від кута однієї величини завжди дає одиницю. Значить, звівши отримане на попередньому кроці вираз для косинуса в квадрат і віднявши від одиниці, а потім знайди квадратний корінь, ви вирішите задачу. Запишіть потрібну формулу в загальному вигляді: sin ( ) = (1-cos ( ) ) = (1 - ((X * X + Y * Y + Z * Z ) / ( (X + Y + Z ) * (X + Y + Z )) ) = (1 - ((X * X + Y * Y + Z * Z ) / ((X + Y + Z ) * (X + Y + Z ) )).
Статті за темою "Як знайти синус кута між векторами"
Оцініть, будь ласка статтю