Як знайти кути чотирикутника

Вектор - це спрямований відрізок, тобто величина, яка вважається заданої повністю, якщо задана його довжина і напрям (кут) до заданої осі. Положення вектора більше нічим не обмежена. Рівними вважаються два вектора, що володіють однаковими довжинами і одним напрямком. Тому при використанні координат вектори зображають радіус-векторами точок його кінця (початок розташовується на початку координат).

За визначенням: результуючим вектором геометричній суми векторів називається вектор, що виходить із початку першого і має кінець в кінці другого, за умови, що кінець першого, поєднаний з початком другого. Це можна продовжувати і далі, будуючи ланцюжок аналогічно розташованих векторів.
Зобразіть заданий чотирикутник ABCD векторами a, b, c і d відповідно рис. 1. Очевидно, що при такому розташуванні результуючий вектор d = a + b + c.

Скалярний твір в даному випадку найзручніше визначити на основі векторів a і d. Скалярний твір, що позначається (a, d) = | a || d | cosф1. Тут ф1 - кут між векторами a і d.
Скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається наступними виразом:
(A (ax, ay), d (dx, dy)) = axdx + aydy, | a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2, | d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2, тоді
cos Ф1 = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)).

Основні поняття векторної алгебри в прив`язці до поставленого завдання, призводять до того, що для однозначної постановки цього завдання досить завдання трьох векторів, розташованих, припустимо, на AB, BC, і CD, тобто a, b, c. Можна звичайно відразу задати координати точок A, B, C, D, але цей спосіб є надмірною (4 параметра замість 3-х).

Приклад. Чотирикутник ABCD заданий векторами його сторін AB, BC, CD a (1,0), b (1,1), c (-1,2). Знайти кути між його сторонами.
Рішення. У зв`язку з викладеним вище, 4-й вектор (для AD)
d (dx, dy) = a + b + c = {ax + bx + cx, ay + by + cy} = {1,3}. Слідуючи методиці обчислення кута між векторами а
cosф1 = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)) = 1 / sqrt (10), ф1 = arcos (1 / sqrt (10)).
-cosф2 = (axbx + ayby) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (bx ^ 2 + by ^ 2)) = 1 / sqrt2, ф2 = arcos (-1 / sqrt2), ф2 = 3п / 4 .
-cosф3 = (bxcx + bycy) / (sqrt (bx ^ 2 + by ^ 2) sqrt (cx ^ 2 + cy ^ 2)) = 1 / (sqrt2sqrt5), ф3 = arcos (-1 / sqrt (10)) = п-ф1.
Відповідно до зауваженням 2 - Ф4 = 2п- ф1 - Ф2 Ф3 = п / 4.