Як знайти кут між діагоналями паралелограма

Нехай паралелограм заданий векторами двох його сторін (інші дві попарно рівні) відповідно до рис. 1. Взагалі-то рівних векторів на площині як завгодно багато. Для цього потрібно рівність їх довжин (точніше модулів - | a |) і напряму, який задається нахилом до будь-якої осі (в декартових координатах це вісь 0Х). Тому для зручності в задачах подібного типу вектори, як правило, задають їх радіус-векторами r = а, у яких початок завжди лежить на початку координат.

Для знаходження кута між сторонами паралелограма знадобиться обчислити геометричну суму і різницю векторів, а також їх скалярний добуток (a, b). за правилом паралелограма геометрична сума векторів a і b дорівнює деякому вектору з = а + b, який побудований і лежить на діагоналі паралелограма AD. Різниця a і b - вектор d = b-a, побудований на другий діагоналі BD. Якщо вектори задані координатами, а кут між ними становить ф, тоді їх скалярний твір - це число, яке дорівнює добутку модулів векторів і cosф (див. рис1): (a, b) = | a || b | cos ф

В декартових координатах якщо а = {x1, y1} і b = {x2, y2}, то (a, b) = x1y2 + x2y1. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + x2 ^ 2. Для вектора b - аналогічно. Тоді: | a || b | cos ф = x1y2 + x2y1. Отже cosф = (x1y2 + x2y1) / (| a || b |). Таким чином алгоритм рішення задачі полягає в наступному: 1. Знаходження координат векторів діагоналей паралелограма як векторів суми і різниці векторів його сторін з = а + b і d = b-a. При цьому відповідні координати a і b просто складаються або віднімаються. c = a + b = {x3, y3} = {x1 + x2, y1 + y2}, d = b-a = {x4, y4} = {x2 -x1, y2-y1}. 2. Знаходження косинуса кута між векторами діагоналей (назвемо його ФД) за наведеним загальним правилом cosфд = (x3y3 + x4y4) / (| c || d |)

Приклад. знайти кут між діагоналями паралелограма, заданого векторами своїх сторін a = {1, 1} і b = {1, 4}. Рішення. Відповідно до наведеного алгоритму вам необхідно знайти вектори діагоналей c = {1 + 1, 1 + 4} = {2, 5} і d = {1-1, 4-1} = {0, 3}. Тепер обчисліть cosфд = (0 + 15) / (sqrt (4 + 25) sqrt9) = 15 / 3sqrt29 = 0,92. Відповідь: ФД = arcos (0,92).