Нехай на площині задані два ненульових вектора, відкладені від однієї точки: вектор A з координатами (x1, y1) і вектор B з координатами (x2, y2). кут між ними позначений як &# 952-. Щоб знайти градусну міру кута &# 952- необхідно скористатися визначенням скалярного твори.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто (A, B) = | A | * | B | * cos (&# 952-). Тепер потрібно висловити з цього запису косинус кута: cos (&# 952 -) = (A, B) / (| A | * | B |).

Скалярний твір можна знайти також за формулою (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, так як скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Якщо скалярний твір ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори є перпендикулярними (кут між ними дорівнює 90 градусів) і подальші обчислення можна не проводити. Якщо скалярний добуток двох векторів позитивно, то кут між цими векторами гострий, а якщо негативно, то кут тупий.

Тепер порахуйте довжини векторів A і B за формулами: | A | =&# 8730- (x1&# 178- + y1&# 178-), | B | =&# 8730- (x2&# 178- + y2&# 178-). Довжина вектора обчислюється як квадратний корінь з суми квадратів його координат.

Знайдені значення скалярного твори і довжин векторів підставте в отриману за крок 2 формулу для знаходження косинуса кута, тобто cos (&# 952 -) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (&# 8730- (x1&# 178- + y1&# 178 -) +&# 8730- (x2&# 178- + y2&# 178-)). Тепер, знаючи значення косинуса, щоб знайти градусну міру кута між векторами потрібно скористатися таблицею Брадіса або взяти з цього виразу арккосинус: &# 952- = arccos (cos (&# 952-)).

Якщо вектори A і B задані в тривимірному просторі і мають координати (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно, то при знаходженні косинуса кута додається ще одна координата. В цьому випадку косинус кута дорівнює: cos (&# 952 -) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (&# 8730- (x1&# 178- + y1&# 178- + z1&# 178 -) +&# 8730- (x2&# 178- + y2&# 178- + z2&# 178-)).

Кут між векторами в векторному лінійному просторі - мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленнимі векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (див. Малюнок до кроку).

При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.

При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. Малюнок до кроку).

Результат скалярного твори - число, інакше скаляр. Запам`ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. Малюнок до кроку).

Цей вислів справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. Малюнок до кроку).

Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовой, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. Малюнок до кроку).

Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок проводите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному - це складова відповідає за аплікат, тобто третього компоненту вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється в такий спосіб (див. Рисунок 6 до кроку).