Як побудувати довірчий інтервал

Слід сказати кілька слів про самих оцінках. Нехай за результатами вибіркових значень випадкової величини Х {x1, x2, ..., xn} потрібно визначити невідомий параметр l, від якого залежить розподіл. Отримання оцінки параметра l * полягає в тому, що кожній вибірці ставиться у відповідність деяке значення параметра, тобто створюється функція результатів спостереження Q, значення якої і приймається рівним оціночним значенням параметра l * = Q (x1, x2, ..., xn) .

Будь-яка функція результатів спостережень називається статистикою. Якщо при цьому вона повністю описує даний параметр (явище), то її називають достатньою статистикою. Так як результати спостережень випадкові, то l * також випадкова величина. Завдання визначення статистики повинна вирішуватися з урахуванням її критеріїв якості. При цьому слід зазначити, що закон розподілу оцінки цілком визначений, якщо відомо розподіл W (x, l) (W - щільність ймовірності).

Довірча ймовірність вибирається самим дослідником і повинна бути досить великою, тобто такий, щоб в умовах даної задачі її можна було б вважати ймовірністю практично достовірного події. Довірчий інтервал може бути обчислений найбільш просто, якщо відомий закон розподілу оцінки. Для прикладу можна розглянути довірчий інтервал оцінки математичного очікування (середнє значення випадкової величини) mx * = (1 / n) (x1 + x2 + ... + xn). Така оцінка є несмещенной, тобто її математичне очікування (середнє значення) одно істинного значення параметра (М {mx *} = mx).

Крім того, легко встановити, що дисперсія оцінки математичного очікування бх * ^ 2 = Dx / n. На основі центральної граничної теореми можна зробити висновок, що закон розподілу цієї оцінки гауссовский (нормальний). Отже, для проведення розрахунків можна використовувати інтеграл ймовірностей Ф (z) (не треба плутати з Ф0 (z) - однієї з форм інтеграла). Тоді, вибравши довжину довірчого інтервалу рівною 2lд, вийде: альфа = P {mx-lд

Звідси випливає наступна методика побудови довірчого інтервалу оцінки математичного очікування: 1. Поставивши собі за довірчою ймовірністю альфа, знайдіть величину (альфа + 1) /2.2. За таблицями інтеграла ймовірності виберете значення lд / sqrt (Dx / n) .3. Так як справжня дисперсія невідома, замість неї можна взяти її оцінку: Dx * = (1 / n) ((x1 - mx *) ^ 2 + (x2 - mx *) ^ 2 + ... + (xn - mx *) ^ 2 ) .4. Знайдіть lд. 5. Запишіть довірчий інтервал (mx * -lд, mx * + lд)