Як розрахувати довірчий інтервал
довірчий інтервал має на увазі під собою термін, який застосовується в математичній статистиці для інтервальной оцінки статистичних параметрів, виробленої при невеликому обсязі вибірки. даний інтервал повинен покривати значення невідомого параметра із заданою надійністю.
1
Врахуйте, що інтервал (L1 або l2), центральної областю якого буде оцінка l *, а також в якому з імовірністю альфа укладена справжня величина параметра, як раз і буде довірчим інтервалом або відповідним значенням довірчої ймовірності альфа. При цьому сама l * буде ставитися до точкових оцінок. Наприклад, за результатами яких-небудь вибіркових величин випадкового значення Х {x1, x2, ..., xn} необхідно обчислити невідомий параметр показника l, від якого буде залежати розподіл. В цьому випадку отримання оцінки заданого параметра l * буде полягати в тому, що для кожної вибірки потрібно буде поставити деяке значення параметра у відповідність, тобто створити функцію результатів спостереження показника Q, значення якого і буде прийнято рівним оціночної величиною параметра l * у вигляді формули : l * = Q * (x1, x2, ..., xn).
2
Зверніть увагу, що будь-яка функція за результатами спостереження називається статистикою. При цьому, якщо вона повністю описує розглянутий параметр (явище), тоді її називають достатньою статистикою. А тому як результати спостережень випадкові, то l * буде також випадковою величиною. Завдання розрахунку статистики повинна бути проведена з урахуванням критеріїв її якості. Тут необхідно враховувати, що закон розподілу оцінки є цілком певним, якщо відомо розподіл щільності ймовірності W (x, l).
3
Можете розрахувати довірчий інтервал досить просто, якщо вам відомий закон про розподіл оцінки. Наприклад, довірчий інтервал оцінки щодо математичного очікування (середньої величини випадкового значення) mx * = (1 / n) * (x1 + x2 + ... + xn). Ця оцінка буде несмещенной, тобто математичне очікування або середнє значення показника буде рівним істинної величиною параметра (М {mx *} = mx).
4
Можете встановити, що дисперсія оцінки по математичному очікуванню: бх * ^ 2 = Dx / n. На підставі граничної центральної теореми можна зробити відповідний висновок про те, що закон розподілу даної оцінки гауссовский (нормальний). Тому для проведення розрахунків можете використовувати показник Ф (z) - інтеграл ймовірностей. В такому випадку, виберіть довжину довірчого інтервала 2lд, так ви отримаєте: альфа = P {mx-lд (із застосуванням властивості інтеграла ймовірностей за формулою: Ф (-z) = 1 Ф (z)).
5
побудуйте довірчий інтервал оцінки математичного очікування: - знайдіть значення формули (альфа + 1) / 2-- виберіть по таблиці інтеграла ймовірності значення, рівне lд / sqrt (Dx / n) - візьміть оцінку істинної дисперсії: Dx * = (1 / n) * ( (x1 - mx *) ^ 2 + (x2 - mx *) ^ 2 + ... + (xn - mx *) ^ 2) - визначте lд-- знайдіть довірчий інтервал за формулою: (mx * -lд, mx * + lд).
Рада 2: Як побудувати довірчий інтервал
інтервал (L1, l2), центром якого є оцінка l *, і в якому з ймовірність альфа полягає істинна значення параметра, називається довірчим інтервалом, відповідним довірчої ймовірності альфа. Варто відзначити, що сама l * відноситься до оцінок точковим, а довірчий інтервал - до інтервальним.
Вам знадобиться
- - папір;
- - ручка.
Інструкція
1
Слід сказати кілька слів про самих оцінках. Нехай за результатами вибіркових значень випадкової величини Х {x1, x2, ..., xn} потрібно визначити невідомий параметр l, від якого залежить розподіл. Отримання оцінки параметра l * полягає в тому, що кожній вибірці ставиться у відповідність деяке значення параметра, тобто створюється функція результатів спостереження Q, значення якої і приймається рівним оціночним значенням параметра l * = Q (x1, x2, ..., xn) .
2
Будь-яка функція результатів спостережень називається статистикою. Якщо при цьому вона повністю описує даний параметр (явище), то її називають достатньою статистикою. Так як результати спостережень випадкові, то l * також випадкова величина. Завдання визначення статистики повинна вирішуватися з урахуванням її критеріїв якості. При цьому слід зазначити, що закон розподілу оцінки цілком визначений, якщо відомо розподіл W (x, l) (W - щільність ймовірності).
3
Довірча ймовірність вибирається самим дослідником і повинна бути досить великою, тобто такий, щоб в умовах даної задачі її можна було б вважати ймовірністю практично достовірного події. Довірчий інтервал може бути обчислений найбільш просто, якщо відомий закон розподілу оцінки. Для прикладу можна розглянути довірчий інтервал оцінки математичного очікування (середнє значення випадкової величини) mx * = (1 / n) (x1 + x2 + ... + xn). Така оцінка є несмещенной, тобто її математичне очікування (середнє значення) одно істинного значення параметра (М {mx *} = mx).
4
Крім того, легко встановити, що дисперсія оцінки математичного очікування бх * ^ 2 = Dx / n. На основі центральної граничної теореми можна зробити висновок, що закон розподілу цієї оцінки гауссовский (нормальний). Отже, для проведення розрахунків можна використовувати інтеграл ймовірностей Ф (z) (не треба плутати з Ф0 (z) - однієї з форм інтеграла). Тоді, вибравши довжину довірчого інтервалу рівною 2lд, вийде: альфа = P {mx-lд
5
Звідси випливає наступна методика побудови довірчого інтервалу оцінки математичного очікування: 1. Поставивши собі за довірчою ймовірністю альфа, знайдіть величину (альфа + 1) /2.2. За таблицями інтеграла ймовірності виберете значення lд / sqrt (Dx / n) .3. Так як справжня дисперсія невідома, замість неї можна взяти її оцінку: Dx * = (1 / n) ((x1 - mx *) ^ 2 + (x2 - mx *) ^ 2 + ... + (xn - mx *) ^ 2 ) .4. Знайдіть lд. 5. Запишіть довірчий інтервал (mx * -lд, mx * + lд)
Зверніть увагу
При визначенні інших, ніж математичне сподівання, оцінок, обчислюються суми і досить довгі (див. Наприклад, наведену тут оцінку дисперсії). У цих умовах закон розподілу самої суми необмежено наближається до нормального. Тому методика знаходження їх довірчих інтервалів не змінюється. У виняткових випадках вводяться різного роду поправочні коефіцієнти.
Статті за темою "Як розрахувати довірчий інтервал"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу