довірчий інтервал в теорії ймовірностей служить для оцінки математичного очікування. Стосовно конкретного параметру, аналізованого статистичними методами, це такий інтервал, який перекриває значення цієї величини із заданою точністю (ступенем або рівнем надійності).

Нехай випадкова величина х розподілена по нормальному закону і відомо середньоквадратичне відхилення. тоді довірчий інтервал дорівнює: m (x) - t · / n lt; M (x) lt; m (x) + t · / n, де m (x) - вибіркове середнє вибірки х, t - аргумент функції Лапласа, - середньоквадратичне відхилення, n - обсяг вибірки, M (x) - математичне очікування. Висловлювання, які стоять ліворуч і праворуч від M (х), називаються довірчими межами.

Функція Лапласа використовується в наведеній формулі для того, щоб визначити ймовірність попадання значення параметра в даний інтервал. Як правило, при вирішенні подібних завдань потрібно або обчислити функцію через аргумент, або навпаки. Формула для знаходження функції являє собою досить громіздкий інтеграл, тому для полегшення роботи з ймовірними моделями Користуйтесь таблицю значень.

Приклад: Знайти довірчий інтервал з рівнем надійності 0,9 для оцінюваного ознаки якоїсь генеральної сукупності х, якщо відомо, що середньоквадратичне відхилення дорівнює 5, вибіркове середнє m (x) = 20, обсяг n = 100.

Рішення: Визначте, які величини, які беруть участь у формулі, вам невідомі. В даному випадку це математичне очікування і аргумент Лапласа.

За умовою завдання значення функції дорівнює 0,9, отже, визначте t з таблиці: (t) = 0,9 t = 1,65.

Підставте всі відомі дані в формулу і обчисліть довірчі межі: 20 - 1,65 · 5/10 lt; M (х) lt; 20 + 1,65 · 5 / 1019,175 lt; M (x) lt; 20,825.

Пошук довірчого інтервала - один із способів оцінки похибки статистичних обчислень. На відміну від точкового методу, який передбачає розрахунок конкретної величини відхилення (математичного очікування, середньоквадратичного відхилення і ін.), інтервальний метод дозволяє охопити більш широкий діапазон можливих похибок.

Щоб визначити довірчий інтервал, потрібно визначити межі, в межах яких коливається значення математичного очікування. Для їх розрахунку необхідно, щоб розглянута випадкова величина була розподілена за нормальним законом навколо деякого середнього очікуваного значення.

Отже, нехай є випадкова величина, вибіркові значення якої складають безліч X, а їх ймовірності є елементами функції розподілу. Нехай також відомо середньоквадратичне відхилення , тоді довірчий інтервал можна визначити у вигляді наступного подвійного нерівності: m (x) - t • / n lt; M (x) lt; m (x) + t • / n, де: m (x) - вибіркове середнє, що дорівнює середньому арифметичному елементів виборкі- M (x) - математичне ожіданіе- n - обсяг виборкі- t - аргумент функції Лапласа.

Для розрахунку довірчого інтервала потрібно таблиця значень функції Лапласа, які представляють собою ймовірності того, що значення випадкової величини потрапить в цей проміжок. Вирази m (x) - t • / n і m (x) + t • / n називаються довірчими межами.

Приклад: знайдіть довірчий інтервал, якщо дана вибірка обсягу 25 елементів і відомо, що середньоквадратичне відхилення = 8, вибіркове середнє m (x) = 15, і заданий рівень надійності інтервала 0,85.

Решеніе.Вичісліте значення аргументу функції Лапласа по таблиці. Для (t) = 0,85 він дорівнює 1,44. Підставте всі відомі величини в загальну формулу: 15 - 1,44 • 8/5 lt; M lt; 15 + 1,44 • 8/5

Запишіть результат: 12,696 lt; M lt; 17,304.