Як знайти точки перегину функції
Щоб знайти точки перегину функції, потрібно визначити, в яких місцях її графік змінює опуклість на увігнутість і навпаки. Алгоритм пошуку пов`язаний з обчисленням другої похідної і аналізом її поведінки в оточенні деякої точки.
1
точки перегину функції повинні належати області її визначення, яку потрібно знайти в першу чергу. Графік функції - Це лінія, яка може бути безперервною або мати розриви, монотонно спадати або зростати, мати мінімальні або максимальні точки (Асимптоти), бути опуклою або увігнутою. Різка зміна двох останніх станів і називається перегином.
2
Необхідна умова існування точок перегину функції полягає в рівності другої похідної нулю. Таким чином, двічі продифференцировав функцію і прирівнявши вийшло вираз нулю, можна знайти абсциси можливих точок перегину.
3
Ця умова випливає з визначення властивостей опуклості і угнутості графіка функції, тобто негативного і позитивного значення другої похідної. У точці перегину відбувається різка зміна цих властивостей, значить, похідна переходить нульову позначку. Однак рівності нулю ще недостатньо для того, щоб позначити перегин.
4
Існує два достатніх ознаки того, що знайдена на попередньому етапі абсциса належить точці перегинуЧерез цю точку можна провести дотичну до графіка функції. Друга похідна має різні знаки праворуч і ліворуч від передбачуваної точки перегину. Таким чином, її існування в самій точці необов`язково, достатньо визначити, що в ній вона змінює знак.Вторая похідна функції дорівнює нулю, а третя - немає.
5
Перше достатня умова є універсальним і застосовується частіше інших. Розглянемо ілюструє приклад: у = (3 • х + 3) • (х - 5).
6
Решеніе.Найдіте область визначення. В даному випадку обмежень немає, отже, нею є весь простір дійсних чисел. Обчисліть першу похідну: у `= 3 • (х - 5) + (3 • х + 3) / (х - 5) .
7
Зверніть увагу на появу дробу. З нього випливає, що область визначення похідної обмежена. Точка х = 5 є виколоти, а значить, через неї може проходити дотична, що частково відповідає першою ознакою достатності перегину.
8
Визначте односторонні межі для отриманого виразу при х 5 - 0 і х 5 + 0. Вони рівні - і + . Ви довели, що через точку х = 5 проходить вертикальна дотична. Ця точка може виявитися точкою перегину, але спочатку обчисліть другу похідну: У `` = 1 / (х - 5) + 3 / (х - 5) - 2/3 • (3 • х + 3) / (х - 5) ^ 5 = (2 • х - 22) / (х - 5) ^ 5.
9
Опустіть знаменник, оскільки точку х = 5 ви вже врахували. Розв`яжіть рівняння 2 • х - 22 = 0. Воно має єдиний корінь х = 11.Последній етап - підтвердження того, що точки х = 5 і х = 11 є точками перегину. Проаналізуйте поведінку другої похідної в їх околицях. Очевидно, що в точці х = 5 вона змінює знак з «+» на «-», а в точці х = 11 - навпаки. Висновок: обидві точки є точками перегину. Виконана перша достатня умова.
Статті за темою "Як знайти точки перегину функції"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу