Як знайти медіану прямокутного трикутника

Варто нагадати, що трикутник є прямокутним, якщо один і його кутів дорівнює 90 градусів. А медіана - це відрізок опущений з кута трикутника на протилежну сторону. Причому він ділить її на дві рівні частини. У прямокутному трикутнику ABC, у якого кут АВС є прямим, медіана BD, опушена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи AC. Тобто, для того, щоб знайти медіану, поділіть значення гіпотенузи на два: BD = AC / 2.Прімер: Нехай в прямокутному трикутнику АВС (АВС-прямий кут), відомі значення катетів AB = 3 см., BC = 4 см., знайдіть довжину медіани ВD, опущеною з вершини прямого кута. Рішення:
1) Знайдіть значення гіпотенузи. По теоремі Піфагора AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2. Отже AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0,5 = (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ^ 0,5 = 25 ^ 0,5 = 5 см
2) Знайдіть довжину медіани за формулою: BD = AC / 2. Тоді BD = 5 см.

Зовсім інша ситуація виникає при знаходження медіани, опущеною на катети прямокутного трикутника. нехай у трикутника АВС, кут В прямій, а АЕ і СF медіани опущені на відповідні катети ВС і АВ. Тут довжина цих відрізків знаходиться за формулами: АЕ = (2 (АВ ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0,5 / 2
СF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0,5 / 2 Приклад: У трикутника АВС, кут АВС є прямим. Довжина катета АВ = 8 см, кут BCA = 30 градусів. Знайдіть довжини медіан, опущених з гострих углов.Решеніе:
1) Знайдіть довжину гіпотенузи АС, її можна отримати зі співвідношення sin (BCA) = AB / AC. Звідси AC = AB / sin (BCA). AC = 8 / sin (30) = 8 / 0,5 = 16 см.
2) Знайдіть довжину катета АС. Найпростіше її можна знайти за теоремою Піфагора: AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0,5, AC = (8 ^ 2 + 16 ^ 2) ^ 0,5 = (64 + 256) ^ 0,5 = (1024) ^ 0,5 = 32 см.
3) Знайдіть медіани по вище приведених формулах
АЕ = (2 (АВ ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (8 ^ 2 + 32 ^ 2) -16 ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (64 + 1024) -256) ^ 0,5 / 2 = 21,91 см.
СF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (16 ^ 2 + 32 ^ 2) -8 ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (256 + 1024) -64) ^ 0,5 / 2 = 24,97 см.