Як знайти медіану трикутника по його сторонах
Медіана - це відрізок, що з`єднує вершину трикутника і середину протилежної сторони. Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника, можна знайти його медіани. В окремих випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника, очевидно, досить знання, відповідно, двох (не рівні один одному) і одного боку трикутника.
Вам знадобиться
- лінійка
Інструкція
1
Розглянемо самий загальний випадок трикутника ABC з трьома нерівними одне одному сторонами. Довжину медіани AE цього трикутника можна обчислити за формулою: AE = sqrt (2 * (AB ^ 2) + 2 * (AC ^ 2) - (BC ^ 2)) / 2. Решта медіани знаходяться абсолютно аналогічно. Ця формула виводиться через теорему Стюарта, або через добудованих трикутника до паралелограма.
2
Якщо трикутник ABC - рівнобедрений і AB = AC, то медіана AE буде одночасно і висотою цього трикутника. Отже, трикутник BEA буде прямокутним. По теоремі Піфагора, АЕ = sqrt ((AB ^ 2) - (BC ^ 2) / 4). Із загальної формули довжини медіани трикутника, для медіан BO і СP справедливо: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2)) / 2.
3
Якщо трикутник ABC - рівносторонній, то, очевидно, що всі його медіани рівні один одному. Так як кут при вершині рівностороннього трикутника дорівнює 60 градусам, то AE = BO = CP = a * sqrt (3) / 2, де a = AB = AC = BC - довжина сторони рівностороннього трикутника.
Рада 2: Як знайти медіану трикутника
медианой трикутника називається відрізок, що з`єднує будь-яку вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Три медіани перетинаються в одній точці завжди всередині трикутника. Ця точка ділить кожну медіану щодо 2: 1.
1
Медіану можна знайти використовуючи теорему Стюарта. Згідно з якою, квадрат медіани дорівнює чверті суми подвоєних квадратів сторін мінус квадрат боку, до якої проведена медіана.
mc ^ 2 = (2a ^ 2 + 2b ^ 2 - c ^ 2) / 4,
де
a, b, c - сторони трикутника.
mc - медіана до сторони с-
mc ^ 2 = (2a ^ 2 + 2b ^ 2 - c ^ 2) / 4,
де
a, b, c - сторони трикутника.
mc - медіана до сторони с-
2
Завдання по знаходженню медіани може бути вирішена через додаткові побудови трикутника до паралелограма і рішення через теорему про диагоналях параллелограмма.Продлім боку трикутника і медіану, добудувавши їх до паралелограма. Таким чином, медіана трикутника буде дорівнює половині діагоналі отриманого паралелограма, дві сторони трикутника - його бічних сторонах (a, b), а третя сторона трикутника, до якої була проведена медіана, є другою діагоналлю отриманого паралелограма. Згідно з теоремою, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєною сумі квадратів його сторін.
2 * (a ^ 2 + b ^ 2) = d1 ^ 2 + d2 ^ 2,
де
d1, d2 - діагоналі отриманого паралелограма;
звідси:
d1 = 0.5 * v (2 * (a ^ 2 + b ^ 2) - d2 ^ 2)
2 * (a ^ 2 + b ^ 2) = d1 ^ 2 + d2 ^ 2,
де
d1, d2 - діагоналі отриманого паралелограма;
звідси:
d1 = 0.5 * v (2 * (a ^ 2 + b ^ 2) - d2 ^ 2)
Статті за темою "Як знайти медіану трикутника по його сторонах"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу