Трикутник є найпростішою замкнутої геометричної фігурою, що складається з трьох вершин, кутів і сторін, кожна з яких має свою назву. Гіпотенуза і два катета - сторони прямокутного трикутника, довжини яких пов`язані між собою і з іншими величинами різними формулами.

Найбільш часто для того, щоб обчислити довжину гіпотенузи, задачу зводять до застосування теореми Піфагора, яка звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Отже, її довжина знаходиться обчисленням квадратного кореня з цієї суми.

Якщо відомий тільки один катет і величина одного з двох кутів, які не є прямими, то можна скористатися тригонометричними формулами. Припустимо, дано трикутник ABC, в якому AC = c - гіпотенуза, AB = a і BC = b - катети, - кут між a і c, - кут між b і c. Тоді: c = a / cos = a / sin = b / cos = b / sin .

Вирішіть задачу: знайти довжину гіпотенузи, якщо відомо, що AB = 3 і кут BAC при цьому боці дорівнює 30 ° .РешеніеІспользуйте тригонометричну формулу: AC = AB / cos30 ° = 3 • 2 / 3 = 2 • 3.

Це був простий приклад на знаходження найбільшої сторони прямокутного трикутника. Вирішіть наступну: визначити довжину гіпотенузи, якщо висота BH, проведена до неї з протилежної вершини, дорівнює 4. Відомо також, що висота ділить сторону на відрізки AH і HC, причому AH = 3.

РешеніеОбозначьте невідому частину гіпотенузи HC = x. Як тільки ви знайдете х, то зможете обчислити і довжину гіпотенузи. Отже, AC = x + 3.

Розгляньте трикутник AHB - він прямокутний за визначенням висоти. Ви знаєте довжини двох його катетів, значить, можете знайти гіпотенузу a, яка є катетом трикутника ABC: a = (AH + BH ) = (16 + 9) = 5.

Перейдіть до іншого прямокутного трикутника BHC і знайдіть його гіпотенузу, яка дорівнює b, тобто другого катета трикутника ABC: b = 16 + x .

Поверніться до трикутника ABC і запишіть формулу Піфагора, складіть рівняння щодо х: (x + 3) = 25 + (16 + x ) x + 6 • x + 9 = 41 + x 6 • x = 32 x = 16 / 3.

Підставте х і знайдіть гіпотенузу: AC = 16/3 + 3 = 25/3.

Якщо вам відомі довжини обох катетів, то довжину гіпотенузи можна легко знайти за допомогою теореми Піфагора. Так як сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, то довжина гіпотенузи легко обчислюється як корінь квадратний із суми квадратів катетів. Наприклад, якщо довжини катетів дорівнюють 3 і 4 см (отже, їх квадрати рівні 9-ти і 16-ти), то гіпотенуза буде дорівнювати кореню квадратному з 25 (9 + 16), тобто 5 см.

Якщо ж вам відома довжина тільки одного катета і один з гострих кутів, то знайти гіпотенузу можна двома способами. Якщо відомий кут, прилегла до катету, то довжина гіпотенузи дорівнює відношенню катета до косинусу цього кута. Якщо ж відомий кут, протилежний до катету, то довжина гіпотенузи рана відношенню цього катета до синусу даного кута.