Як привести матрицю до ступінчастого вигляду
Матриця - це система елементів, розташованих у вигляді прямокутної таблиці. Для визначення рангу матриці, знаходження її визначника і оберненої матриці необхідно привести задану матрицю до східчастого увазі. Матриці ступеневої виду також зручні для виконання інших операцій над матрицями.
1
Матриця називається ступінчастою, якщо виконані наступні умови:
• після нульової рядки йдуть тільки нульові рядки;
• перший ненульовий елемент в кожній наступній рядку розташований правіше, ніж у попередній.
У лінійної алгебри є теорема, згідно з якою будь-яка матриця може бути приведена до ступенчатому увазі шляхом наступних елементарних перетворень:
• зміна місцями двох рядків матриці;
• поповнення лише до рядку матриці інший її рядки, помноженої на число.
• після нульової рядки йдуть тільки нульові рядки;
• перший ненульовий елемент в кожній наступній рядку розташований правіше, ніж у попередній.
У лінійної алгебри є теорема, згідно з якою будь-яка матриця може бути приведена до ступенчатому увазі шляхом наступних елементарних перетворень:
• зміна місцями двох рядків матриці;
• поповнення лише до рядку матриці інший її рядки, помноженої на число.
2
Розглянемо приведення матриці до ступінчастого увазі на прикладі матриці A, представленої на малюнку. Вирішуючи завдання, перш за все уважно вивчіть рядки матриці. Чи можливо переставити місцями рядки так, щоб в подальшому було зручніше проводити обчислення. У нашому випадку ми бачимо, що буде зручно поміняти місцями першу і другу сходинки. По-перше, якщо перший елемент першого рядка дорівнює числу 1, то це значно спрощує подальші елементарні перетворення. По-друге, другий рядок вже буде відповідати ступенчатому увазі, тобто перший її елемент дорівнює 0.
3
Далі обнуліть все перші елементи стовпців (крім першого рядка). У нашому випадку це зробити простіше, тому що перший рядок починається з числа 1. Тому ми послідовно множимо перший рядок на відповідне число і віднімаємо з отриманої рядка рядок матриці. Обнуляючи третій рядок, множимо перший рядок на число 5 і віднімаємо з результату третій рядок. Обнуляючи четвертий рядок, множимо перший рядок на число 2 і віднімаємо з результату четвертий рядок.
4
Наступним етапом обнуліть другі елементи рядків, починаючи з третього рядка. Для нашого прикладу для обнулення другого елементу третього рядка досить помножити другий рядок на число 6 і відняти від результату третю сходинку. Для отримання нуля в четвертому рядку доведеться виконати більш складне перетворення. Треба помножити другий рядок на число 7, а четвертий рядок на число 3. Таким чином ми отримаємо на місці другого елементу рядків число 21. Далі віднімаємо одну сходинку з іншої і отримуємо на місці другого елементу 0.
5
І нарешті, обнуляем третій елемент четвертого рядка. Для цього необхідно помножити третій рядок на число 5, а четвертий рядок на число 3. Віднімаємо один рядок з іншої і отримуємо матрицю A, приведену до ступенчатому увазі.
Зверніть увагу
Якщо числа рядків невеликі або зручні для проведення обчислень, то можна виконувати відразу кілька операцій за один крок. В інших випадках краще не поспішати і записати кожен крок окремо.
Корисна порада
В інтернеті можна знайти програми, що призводять матрицю до ступінчастого вигляду. Їх дуже зручно використовувати для перевірки отриманого результату.
Статті за темою "Як привести матрицю до ступінчастого вигляду"
Оцініть, будь ласка статтю