Якщо відома величина цікавить вас гострого кута, то обчислення зведеться до знаходження значення косинуса за допомогою будь-якого калькулятора або онлайн-обчислювача. Якщо ви оберете калькулятор, то використовуйте, наприклад, вбудовану в ОС Windows програму цього роду. Вона запускається через головне меню на кнопці «Пуск», в якому посилання «Калькулятор» поміщена в підрозділ «Службові» розділу «Стандартні», що відкривається вибором в меню пункту «Усі програми».

Якщо відома величина не того кута, косинус якого потрібно обчислити, а кута, що примикає до протилежного кінця гіпотенузи, то виходьте з того, що в геометрії Евкліда сума всіх кутів трикутника завжди дорівнює 180 °. Використовуючи цю класичну теорему обчисліть потрібний кут - відніміть від 180 ° відомий кут і кут прямий (90 °). Після цього вихідні дані і метод обчислення співпадуть з тими, що описані в попередньому кроці.

Якщо величини гострих кутів прямокутного трикутника невідомі, але є дані про довжинах його сторін, то для знаходження значення косинуса потрібного кута задійте базове визначення цієї тригонометричної функції. Воно стверджує, що косинус гострого кута дорівнює співвідношенню довжин катета і гіпотенузи, які складають цей кут.

Якщо довжина саме того катета, який прилягає до потрібного кутку, невідома, то її можна розрахувати, виходячи з теореми Піфагора, а потім вдатися до методу, описаного в попередньому кроці. Як ви, напевно, пам`ятаєте, ця теорема стверджує, що сума квадратів довжин катетів прямокутного трикутника завжди дорівнює квадрату довжини його гіпотенузи. Тому для обчислення довжини відсутньої боку знайдіть квадратний корінь з різниці між квадратами довжин гіпотенузи і відомого катета, а потім дійте так, як описано в попередньому кроці.

Якщо невідома довжина гіпотенузи, то використовуйте ту ж саму теорему - знайдіть значення квадратного кореня з суми зведених у квадрат довжин катетів і повертайтеся до методу, описаного в третьому кроці.

Щоб знайти косинус кута в трикутнику, довжини сторін якого відомі, можна скористатися теоремою косинусів. Відповідно до цієї теореми, квадрат довжини сторони довільного трикутника дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін без подвоєного твори довжин цих сторін на косинус кута між ними:

а? = b? + c? -2 * b * c * соs ?, де:

а, b, с - сторони трикутника (точніше їх довжини),

? - Кут, протилежний стороні а (його величина).

З наведеного рівності легко знаходиться соs ?:

соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c)

Приклад 1.

Є трикутник зі сторонами а, b, с, рівними 3, 4, 5 мм, відповідно.

знайти косинус кута, укладеного між великими сторонами.

Рішення:

За умовою завдання маємо:

а = 3,

b = 4,

з = 5.

Позначимо протилежний стороні а кут через?, Тоді, відповідно до виведеної вище формулою, маємо:

соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25-9) / 40 = 32/40 = 0,8

Відповідь: 0,8.

Якщо трикутник прямокутний, то для знаходження косинуса кута досить знати довжини всього двох будь-яких сторін (косинус прямого кута дорівнює 0).

Нехай є прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с - гіпотенуза.

Розглянемо всі варіанти:

Приклад 2.

Знайти соs ?, якщо відомі довжини сторін а і b (катети трикутника)

Скористаємося додатково теоремою Піфагора:

c? = b? + а ?,

з = v (b? + а?)

соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?) / (2 * b * v (b? + а?)) = (2 * b?) / (2 * b * v (b? + а?)) = b / v (b? + а?)

Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто

а = 3,

b = 4.

Проробивши елементарні обчислення, отримуємо:

соs? = 0,8.

аналогічно знаходиться косинус в прямокутному трикутнику в інших випадках:

Приклад 3.

Відомі а й з (гіпотенуза і протилежний катет), знайти соs?

b? = з? -а ?,

b = v (c? -а?)

соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (с? -а? + с? -а?) / (2 * с * v (з? -а?)) = (2 * с? -2 * а?) / (2 * с * v (з? -а?)) = v (з? -а?) / с.

Підставляючи значення а = 3 і з = 5 з першого прикладу, отримуємо:

соs? = 0,8.

Приклад 4.

Відомі b і с (гіпотенуза і прилегла катет).

Знайти соs?

Провівши аналогічні (показані в прикладах 2 і 3 перетворення), отримаємо, що в цьому випадку косинус в трикутнику обчислюється за дуже простою формулою:

соs? = b / с.

Простота виведеної формули пояснюється елементарно: фактично, прилегла до кута? катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на соs ?.

Підставляючи значення b = 4 і з = 5 з першого прикладу, отримаємо:

соs? = 0,8

Значить, всі наші формули вірні.