Як знайти площу перерізу кулі
Нехай дано куля з радіусом R, який на деякій відстані b від центру перетинає площину. Відстань b менше або дорівнює радіусу кулі. потрібно знайти площа S виходить при цьому перетину.
1
Очевидно, що якщо відстань від центру кулі до площини дорівнює радіусу площині, то площину стосується кулі тільки в одній точці, і площа перетину буде дорівнює нулю, тобто якщо b = R, то S = 0. Якщо b = 0, то січна площина проходить через центр кулі. В цьому випадку перетин буде являти собою коло, радіус якого збігається з радіусом кулі. Площа цього кола буде, згідно з формулою, дорівнює S = R ^ 2.
2
Ці два крайніх випадки дають кордону, між якими завжди буде лежати шукана площа: 0 lt; S lt; R ^ 2. При цьому будь-який перетин кулі площиною завжди є кругом. Отже, завдання зводиться до того, щоб знайти радіус кола перерізу. Тоді площа цього перерізу обчислюється за формулою площі круга.
3
Оскільки відстань від точки до площини визначається як довжина відрізка, перпендикулярного площині і починається в точці, другий кінець цього відрізка буде збігатися з центром кола перетину. Такий висновок випливає з визначення кулі: очевидно, що всі точки кола перетину належать до сфери, а отже, лежать на рівній відстані від центру кулі. Це означає, що кожна точка кола перетину може вважатися найбільшим прямокутного трикутника, гіпотенузою якого служить радіус кулі, одним з катетів - перпендикулярний відрізок, що з`єднує центр кулі з площиною, а другим катетом - радіус кола перерізу.
4
З трьох сторін цього трикутника задані два - радіус кулі R і відстань b, тобто гіпотенуза і катет. По теоремі Піфагора довжина другого катета повинна дорівнювати (R ^ 2 - b ^ 2). Це і є радіус кола перерізу. Підставляючи знайдене значення радіуса в формулу площі круга, легко прийти до висновку, що площа перетину кулі площиною дорівнює: S = (R ^ 2 - b ^ 2) .В окремих випадках, коли b = R або b = 0, виведена формула повністю узгоджується з уже знайденими результатами.
Статті за темою "Як знайти площу перерізу кулі"
Оцініть, будь ласка статтю