Якщо F (x) - функція аргументу x, то вона називається періодичної, якщо є таке число T, що для будь-якого x F (x + T) = F (x). Це число T і називається періодом функції.

Періодів може бути і декілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне і те ж значення, а тому будь-яке число може вважатися її періодом.

Зазвичай математика цікавить найменший не дорівнює нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.

Класичний приклад періодичних функцій - тригонометричні: синус, косинус і тангенс. Їх період однаковий і рівний 2 , тобто sin (x) = sin (x + 2 ) = sin (x + 4 ) і так далі. Однак, зрозуміло, тригонометричні функції - не єдині періодичні.

Щодо простих, базових функцій єдиний спосіб встановити їх періодичність або неперіодичних - обчислення. Але для складних функцій вже є кілька простих правил.

Якщо F (x) - періодична функція з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f (x) = F `(x) - теж періодична функція з періодом T. Адже значення похідної в точці x одно тангенсу кута нахилу дотичної графіка її первісної в цій точці до осі абсцис, а оскільки первісна періодично повторюється, то повинна повторюватися і похідна. Наприклад, похідна від функції sin (x) дорівнює cos (x), і вона періодична. Беручи похідну від cos (x), ви отримаєте -sin (x). Періодичність зберігається незмінно.

Однак зворотне не завжди вірно. Так, функція f (x) = const періодична, а її первісна F (x) = const * x + C - немає.

Якщо F (x) - періодична функція з періодом T, то G (x) = a * F (kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T / k. Наприклад sin (2x) - періодична функція, і її період дорівнює . Наочно це можна представити так: примножуючи x на яке-небудь число, ви як би стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів

Якщо F1 (x) і F2 (x) - періодичні функції, і їх періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій теж може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 і T2. Якщо результат ділення T1 / T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, і її період дорівнює найменшого спільного кратного (НОК) періодів T1 і T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми буде дорівнює НОК (12, 15) = 60.

Наочно це можна представити так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи пізно (а точніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їх сума почне новий період.

Однак якщо співвідношення періодів ірраціонально, то сумарна функція не періодичної зовсім. Наприклад, нехай F1 (x) = x mod 2 (залишок від ділення x на 2), а F2 (x) = sin (x). T1 тут буде дорівнює 2, а T2 дорівнює 2 . Співвідношення періодів дорівнює - ірраціонального числа. Отже, функція sin (x) + x mod 2 не є періодичною.

Найвідомішими періодичними функціями математики є синусоїда і косинусоид. Ці функції мають хвилеподібний характер і основний період, рівний 2П. Також окремим випадком періодичної функції є f (x) = const. На позицію х підходить будь-яке число, основного періоду дана функція не має, тому що являє собою пряму.

Взагалі функція є періодичною, якщо існує таке ціле число N, яке відмінно від нуля і задовольняє правилу f (x) = f (x + N), таким чином забезпечуючи повторюваність. Період функції - це і є найменше число N, але не нуль. Тобто, наприклад, функція sin x дорівнює функції sin (x + 2ПN), де N = ± 1, ± 2 і т.д.

Іноді при функції може стояти множник (наприклад sin 2x), який збільшить або зменшить період функції. Для того щоб знайти період з графіком, необхідно визначити екстремуми функції - найвищу і найнижчу точки графіка функції. Так як синусоїда і косинусоид мають хвилеподібний характер, це досить легко зробити. Від даних точок побудуйте перпендикулярні прямі до перетину з віссю Х.

Відстань від верхнього екстремуму до нижнього буде половиною періоду функції. Найзручніше обчислювати період від перетину графіка з віссю Y і, відповідно, нульової позначки по осі х. Після цього необхідно помножити отримане значення на два і отримати основний період функції.

Для простоти побудови графіків синусоїди і косинусоид необхідно відзначити, що якщо при функції варто ціле число, то її період подовжиться (тобто 2П необхідно помножити на цей коефіцієнт) і графік буде виглядати більш м`яко, плавно- а якщо число дробове, навпаки, скоротиться і графік стане більш «гострим», стрибкоподібним на вигляд.