Якщо вам відомі довжини сторін (a і b) трикутника, що утворюють розділений навпіл кут ( ), то довжину бісектриси (L) можна вивести з теореми косинусів. Для цього знайдіть значення подвоєного твори довжин сторін на косинус половини кута між ними і розділіть отриманий результат на суму довжин сторін: L = 2 * a * b * cos ( / 2) / (a + b).

Якщо величина кута, який ділиться бісектрисою, невідома, але дані довжини всіх сторін трикутника (a, b і c), то для обчислень зручніше ввести додаткову змінну - напівпериметр: p = * (a + b + c). Після цього частина формули довжини бісектриси (L) з попереднього кроку треба буде замінити - в чисельник дробу поставте подвоєний квадратний корінь з добутку довжин сторін, що утворюють розділений бісектрисою кут, на напівпериметр і частка від вирахування з напівпериметр довжини третьої сторони. Знаменник ж залиште без змін - це повинна бути сума довжин сторін розділеного кута трикутника. В результаті формула повинна виглядати так: L = 2 * (a * b * p * (p-c)) / (a + b).

Якщо ускладнити подкоренное вираз формули з попереднього кроку, то можна обійтися і без напівпериметр. Для цього залиште знаменник (сума довжин сторін розділеного кута) без змін, а в чисельнику повинен бути квадратний корінь з добутку довжин цих же сторін на суму їх довжин, з якої вирахувано довжина третьої сторони, а також на суму довжин усіх трьох сторін: L = (a * b * (a + bc) * (a + b + c)) / (a + b).

Якщо у вихідних умовах дано не тільки довжини сторін (a і b), що утворюють розділений бісектрисою кут, але і довжини відрізків (d і e), на які ця бісектриса поділила третю сторону, то теж доведеться витягувати квадратний корінь. Довжину бісектриси (L) в цьому випадку розраховуйте як корінь з добутку довжин відомих сторін, з якого вирахувано твір довжин відрізків: L = (a * b-d * e).

Існує кілька визначень бісектриси.
Класичні визначення звучать так:
1. Бісектриса кута - промінь, що виходить з вершини кута і ділить його навпіл.
2. Бісектриса трикутника - відрізок, що з`єднує один з кутів трикутника з протилежною стороною і ділить даний кут навпіл.
Крім класичних визначень, для запам`ятовування, можна використовувати мнемонічне правило, яке звучить наступним чином: Бісектриса це щур, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл.
АСВ - довільний трикутник
Якщо кут САЕ дорівнює куту ЕАВ, то відрізок АЕ - бісектриса трикутника АВС, що виходить з кута А.

Для формування повного уявлення про бісектрисі слід розглянути її властивості.
1. У будь-якому трикутнику можна провести 3 бісектриси, які перетинаються в одній точці. Точка перетину биссектрис є центром вписаного кола в даний трикутник.
2. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.
3. Бісектриса - геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.

У трикутник бісектриса, проведена до основи, є одночасно медіаною і витой. В такому випадку бісектриса знаходиться за допомогою теореми Піфагора.
де DC - половина боку АС.

Формули для, знаходження бісектриси довільного трикутника виводяться з теореми Стюарта (М.Стюарт - англійський математик).
Якщо позначити боку трикутника літерами а, в, с, так що АВ = с, ВС = а, АС = в, де Lc - довжина бісектриси опущеною на сторону b з кута АВС.

al і cl - відрізки, на які бісектриса ділить сторону b

кути трикутника при вершинах А, В і С

Н - висота трикутника, проведена з вершини В на сторону b.