У математиці існує безліч різних типів рівнянь. Серед диференціальних також розрізняють кілька підвидів. Відрізнити їх можна по ряду істотних ознак, характерних для тієї чи іншої групи.
Вам знадобиться
Інструкція
1
Якщо рівняння представлено у вигляді: dy / dx = q (x) / n (y), відносите їх до категорії диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними. Їх можна вирішити, записавши умову в диференціалах за наступною схемою: n (y) dy = q (x) dx. Потім проінтегріруйте обидві частини. У деяких випадках рішення записується у вигляді інтегралів, взятих від відомих функцій. Наприклад, в разі dy / dx = x / y, вийде q (x) = x, n (y) = y. Запишіть його у вигляді ydy = xdx і проінтегріруйте. Має вийти y ^ 2 = x ^ 2 + c.
2
До лінійним рівнянням відносите рівняння «першого ступеня». Невідома функція з її похідними входить в подібне рівняння лише в першого ступеня. Лінійне диференціальне рівняння має вигляд dy / dx + f (x) = j (x), де f (x) і g (x) - функції, що залежать від x. Рішення записується за допомогою інтегралів, взятих від відомих функцій.
3
Врахуйте, що багато диференціальні рівняння - це рівняння другого порядку (що містять другі похідні) Таким, наприклад, є рівняння простого гармонійного руху, записане у вигляді загальної формули: md 2x / dt 2 = -kx. Такі рівняння мають, в основному, приватні рішення. Рівняння простого гармонійного руху є прикладом досить важливого класу: лінійних диференціальних рівнянь, у яких є постійний коефіцієнт.
4
Розгляньте більш загальний приклад (другого порядку): рівняння, де у і z - є заданими постійними, f (x) - задана функція. Подібні рівняння можна вирішити різними способами, наприклад, за допомогою інтегрального перетворення. Це ж саме можна сказати і про лінійні рівняння вищих порядків, що мають постійні коефіцієнти.
5
Звертаємо увагу, що рівняння, які містять невідомі функції, а також їх похідні, які стоять в ступеня вище першої, називаються нелінійними. Рішення нелінійних рівнянь досить складні і тому, для кожного з них використовується свій окремий випадок.
Рада 2: Як визначити вид диференціального рівняння
Визначити вид диференціального рівняння необхідно для того, щоб підібрати відповідний кожному випадку спосіб рішення. Класифікація видів досить велика, а рішення ґрунтується на методах інтегрування.
Інструкція
1
Необхідність в диференціальних рівняннях виникає тоді, коли відомі властивості функції, а сама вона залишається невідомою величиною. Часто така ситуація виникає при дослідженні фізичних процесів. Властивості функції описуються її похідними або диференціалом, тому єдиним способом її знаходження є інтегрування. Перш ніж приступати до вирішення, потрібно визначити вид диференціального рівняння.
2
Існує кілька видів диференціальних рівнянь, найпростішим з них є вираз у `= f (х), де у` = dу / d х. Крім того, до цього виду може бути приведено рівність f (х) • у `= g (х), тобто у `= g (х) / f (х). Зрозуміло, це можливо тільки за умови, що f (х) не звертається до нуль. Приклад: 3 ^ х • у `= х - 1 у` = (х - 1) / 3 ^ х.
3
Диференціальні рівняння з розділеними змінними називаються так тому, що похідна у `в даному випадку буквально розділена на дві складові dу і d х, які знаходяться по різні боки від знака одно. Це рівняння виду f (у) • dу = g (х) • d х. Приклад: (у - sin у) • dу = tg х / (х - 1) • d х.
4
Два описаних виду диференціальних рівнянь звуться звичайних або скорочено ОДУ. Однак рівняння першого порядку можуть бути і більш складними, неоднорідними. Вони називаються ЛНДУ - лінійні неоднорідні рівняння у `+ f (х) • у = g (х).
До ЛНДУ відноситься, зокрема, рівняння Бернуллі у `+ f (х) • у = g (х) • у ^ a. Приклад: 2 • у `- х • у = (ln х / х ) • у . А також рівняння в повних диференціалах f (х, у) d х + g (х, у) dу = 0, де fх (х, у) / у = gу (х, у) / х. Приклад: (х - 2 • х • у) d х - х dу = 0, де х - 2 • х • у - похідна по х від функції • х ^ 4 - х • у + C, а (-х ) - її похідна по у.
5
Найпростішим видом ОДУ другого порядку є у `` + p • у `+ q • у = 0, де p і q - постійні коефіцієнти. ЛНДУ другого порядку - це ускладнена версія ОДУ, а саме у `` + p • у `+ q • у = f (х). Приклад: у `` - 5 • у `+ 13 • у = sin х. Якщо p і q - функції аргументу х, то рівняння може виглядати приблизно так: у `` - 5 • х • у `+ 13 • (х - 1) • у = sin х.
6
Диференціальні рівняння вищих порядків поділяються на три підвиди: допускають зниження порядку, рівняння з постійними коефіцієнтами і з коефіцієнтами у вигляді функцій аргументу х:
• Вираз f (х, у ^ (m), у ^ (m + 1), ..., у ^ (n)) = 0 не містить похідних нижче порядку m, значить, через заміну z = у ^ (m) можна зменшити порядок. Тоді рівняння перетворюється в вид f (х, z, z `, ..., z ^ (n - m)) = 0. Приклад: у` `` • х - 4 • у = у `- 2 z` `• х - 4 • у = z - 2, де z = у `= dу / d х;
• ЛОДР у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у `+ p0 • у = 0 і ЛНДУ у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у `+ p0 • у = f (х) з постійними коефіцієнтами pi. Приклади: у ^ (3) + 2 • у `` - 15 • у `+ 3 • у = 0 і у ^ (3) + 2 • у` `- 15 • у` + 3 • у = 2 • х - ln х;
• ЛОДР у ^ (k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у `+ p0 (х) • у = 0 і ЛНДУ у ^ ( k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у `+ p0 (х) • у = f (х) з коефіцієнтами-функціями pi (х ). Приклади: у `` `+ 2 • х • у` `- 15 • arсsin х • у` + 9 • х • у = 0 і у `` `+ 2 • х • у` `- 15 • arcsin х • у `+ 9 • х • у = 2 • х - ln х.
7
Вид конкретного диференціального рівняння не завжди буває очевидним. Тоді слід уважно розглянути його на предмет приведення до одного з канонічних типів, щоб застосувати відповідний спосіб вирішення. Зробити це можна різними методами, найбільш поширеними з них є заміна і розкладання похідною на складові у `= dу / d х.
Увага, тільки СЬОГОДНІ! Статті за темою "Як визначити тип диференціального рівняння"