Як вирішувати проблему без х
При вирішенні диференціальних рівнянь не завжди явно доступний аргумент x (або час t в задачах фізичних). Проте - це спрощений окремий випадок завдання диференціального рівняння, що часто сприяє спрощенню пошуку його інтеграла.
1
Розгляньте фізичну задачу, приводить до диференціальних рівнянь, в якому відсутній аргумент t. Це задача про коливання математичного маятника масою m, підвішеного на нитці довжиною r, розташованої у вертикальній площині. Потрібно знайти рівняння руху маятника, якщо в початковий момент маятник був нерухомий і відхилений від стану рівноваги на кут . Силами опору слід нехтувати (див. Рис. 1a).
задачу без х" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
2
Рішення. Математичний маятник являє собою матеріальну точку, підвішену на невагомою і нерастяжимой нитки в точці О. На точку діють дві сили: сила тяжіння G = mg і сила натягу нитки N. Обидві ці сили лежать у вертикальній площині. Тому для вирішення завдання можна застосувати рівняння обертального руху точки навколо горизонтальній осі, що проходить через точку О. Рівняння обертального руху тіла має вигляд, наведений на рис. 1b. При цьому I - момент інерції матеріальної точки-j - кут повороту нитки разом з точкою, відлічуваний від вертикальної осі проти годинникової стрелкі- M - момент сил, прикладених до матеріальної точці.
3
Обчисліть ці величини. I = mr ^ 2, M = M (G) + M (N). Але M (N) = 0, так як лінія дії сили проходить через точку О. M (G) = - mgrsinj. Знак «-» означає, що момент сили спрямований у бік, протилежний руху. Підставте момент інерції і момент сили в рівняння руху і отримаєте рівняння, відображене на рис. 1с. Скорочуючи масу, виникає співвідношення (див. Рис. 1d). Тут немає аргументу t.
4
У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку не має х і дозволене щодо старшої похідної y ^ (n) = f (y, y `, y` `, ..., y ^ (n-1)). Для другого порядку це y `` = f (y, y `). Вирішіть його підстановкою y `= z = z (y). Так як для складної функції dz / dx = (dz / dy) (dy / dx), то y `` = z`z. Це призведе до рівняння першого порядку z`z = f (y, z). Вирішіть його будь-яким з відомих вам способів і отримаєте z = (y, C1). В результаті отримано dy / dx = (y, C1), dy / (x, C1) = x + C2. Тут С1 і С2 - довільні постійні.
5
Конкретне рішення залежить від виду виник диференціального рівняння першого порядку. Так, якщо це рівняння із перемінними, то воно вирішується безпосередньо. Якщо це однорідне відносно y рівняння, то для вирішення застосуєте підстановку u (y) = z / y. Для лінійного рівняння z = u (y) * v (y).
Статті за темою "Як вирішувати проблему без х"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу