Диференціальне рівняння, в яке невідома функція і її похідна входять лінійно, тобто в першій мірі, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Інструкція
1
Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння першого порядку такий:
y `+ p (x) * y = f (x),
де y - невідома функція, а p (x) і f (x) - деякі задані функції. Вони вважаються безперервними в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння. Зокрема, вони можуть бути і константами.
2
Якщо f (x) 0, то рівняння називають однородним- якщо ні - то, відповідно, неоднорідним.
3
Лінійне однорідне рівняння може бути вирішено шляхом поділу змінних. Його загальний вигляд: y `+ p (x) * y = 0, отже:
dy / dx = -p (x) * y, звідки випливає, що dy / y = -p (x) dx.
4
Інтегруючи обидві частини отриманого рівності, отримуємо:
(dy / y) = - p (x) dx, тобто ln (y) = - p (x) dx + ln (C) або y = C * e ^ (- p (x) dx) ).
5
Рішення неоднорідного лінійного рівняння можна вивести з рішення відповідного однорідного, тобто того ж самого рівняння з відкинутою правою частиною f (x). Для цього потрібно замінити константу C в рішенні однорідного рівняння невідомою функцією (x). Тоді рішення неоднорідного рівняння буде представлено у вигляді:
y = (x) * e ^ (- p (x) dx)).
6
Диференціюючи цей вислів, отримаємо, що похідна від y дорівнює:
y `= ` (x) * e ^ (- p (x) dx) - (x) * p (x) * e ^ (- p (x) dx).
Підставивши знайдені вирази для y і y `в вихідне рівняння і спростивши отримане, легко прийти до результату:
d / dx = f (x) * e ^ ( p (x) dx).
7
Після інтегрування обох частин рівності воно отримує вигляд:
(x) = (f (x) * e ^ ( p (x) dx)) dx + C1.
Таким чином, шукана функція y виразиться у вигляді:
y = e ^ (- p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ ( p (x) dx)) dx).
8
Якщо прирівняти постійну C нулю, то з виразу для y можна отримати особисте рішення заданого рівняння:
y1 = (e ^ (- p (x) dx)) * ( f (x) * e ^ ( p (x) dx)) dx).
Тоді повне рішення можна буде висловити у вигляді:
y = y1 + C * e ^ (- p (x) dx)).
9
Іншими словами, повне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку дорівнює сумі його приватного рішення і спільного рішення відповідного однорідного лінійного рівняння першого порядку.
Увага, тільки СЬОГОДНІ! Статті за темою "Як вирішувати диференціальні лінійні рівняння"