Як знайти об`єм піраміди, якщо дані координати вершин
Для розрахунку обсягу піраміди можна скористатися постійним співвідношенням, що зв`язує цю величину з об`ємом паралелепіпеда, побудованого на тій же підставі і з таким же нахилом висоти. А обсяг паралелепіпеда розраховується досить просто, якщо уявити його ребра як набір векторів - наявність в умовах завдання координат вершин піраміди дозволяє це зробити.
![Як знайти об`єм піраміди, якщо дані координати вершин](https://img.ladyfactsx.ru/fb/kak-najti-obem-piramidy-esli-dany-koordinaty_1.jpg)
1
Розглядайте ребра піраміди як вектори, на яких побудована ця фігура. За координатами точок в вершинах A (X -Y -Z ), B (X -Y -Z ), C (X -Y -Z ), D (X -Y -Z ), визначте проекції векторів, що виходять з вершини піраміди, на осі ортогональної системи координат - відніміть з кожної координати кінця вектора відповідну координату початку: AB {X -X -Y -Y -Z -Z }, AC {X -X -Y -Y -Z -Z }, AD {X - X -Y -Y -Z -Z }.
2
Скористайтеся тим, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на цих же векторах, повинен бути в шість разів більше обсягу піраміди. Обсяг такого паралелепіпеда визначити неважко - він дорівнює змішаного добутку векторів: | AB * AC * AD |. Значить, обсяг піраміди (V) складе одну шосту частину від цієї величини: V = * | AB * AC * AD |.
3
Для розрахунку змішаного твори з отриманих на першому кроці координат складіть матрицю, помістивши в кожен її рядок три координати відповідного вектора:
(X -X ) (Y -Y ) (Z -Z )
(X -X ) (Y -Y ) (Z -Z )
(X -X ) (Y -Y ) (Z -Z )
Потім розрахуйте її визначник - через підрядник перемножте всі елементи множини і складіть результати:
(X -X ) * (Y -Y ) * (Z -Z ) + (Y -Y ) * (Z -Z ) * (X -X ) + (Z -Z ) * (X -X ) * (Y -Y ) + (Z -Z ) * (Y -Y ) * (X -X ) + (Y -Y ) * (X -X ) * (Z -Z ) + (X -X ) * (Z -Z ) * (Y -Y ).
4
Отримане на попередньому кроці значення відповідає обсягу паралелепіпеда - розділіть його на шістку, щоб отримати шуканий обсяг піраміди. У загальному вигляді цю громіздку формулу можна записати так: V = * | AB * AC * AD | = * ((X -X ) * (Y -Y ) * (Z -Z ) + (Y -Y ) * (Z -Z ) * (X -X ) + (Z -Z ) * (X -X ) * (Y -Y ) + (Z -Z ) * (Y -Y ) * (X -X ) + (Y -Y ) * (X -X ) * (Z -Z ) + (X -X ) * (Z -Z ) * (Y -Y )).
5
Якщо хід обчислень в рішенні завдання приводити не потрібно, а потрібно лише отримати чисельний результат, простіше скористатися для розрахунків онлайн-сервісами. У мережі неважко знайти скрипти, які можуть допомогти з проміжними розрахунками - порахувати детермінант матриці - або самостійно обчислити об`єм піраміди по введеним в поля форми координатам точок. Пара посилань на такі сервіси приведена нижче.
Статті за темою "Як знайти об`єм піраміди, якщо дані координати вершин"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу