Якщо в умовах задачі приведена площа підстави (s) і обсяг (V) піраміди, формула для обчислення висоти багатогранника (H) буде дуже проста - розділіть втричі більший обсяг на площу: H = 3 * V / s.

При квадратному підставі піраміди з відомою довжиною сторони (a) і заданому обсязі (V) замініть площа у формулі розрахунку з попереднього кроку на зведену в квадрат довжину сторони: H = 3 * V / a .

Формулу з першого кроку можна трансформувати для обчислення висоти (H) правильної піраміди c підставою будь-якої форми. Вихідні дані, які в ній повинні бути задіяні - обсяг (V) багатогранника, довжина ребра в підставі (a) і кількість вершин при підставі (n). Площа правильного багатокутника визначається чвертю твори кількості вершин на квадрат довжини сторони і котангенс кута, рівного співвідношенню 180 ° і кількості вершин: * n * a * ctg (180 ° / n). Підставте цей вираз у формулу з першого кроку: H = 3 * V / ( * n * a * ctg (180 ° / n)) = 12 * V / (n * a * ctg (180 ° / n)).

Апофема (h) будь-бічної грані правильної піраміди утворює з радіусом вписаного в основу кола (r) і висотою правильної піраміди (H) прямокутний трикутник. Якщо радіус і апофема відомі, використовуйте в розрахунках теорему Піфагора. Так як шукана величина тут - катет, з теореми випливає, що вам потрібно витягти квадратний корінь з різниці між квадратом апофеми (гіпотенузи) і квадратом радіусу (другого катета): H = (h -r ).

При відомої апофеме (h) і куті нахилу ( ) бічній грані до основи правильної піраміди в формулі обчислення висоти (H) можна використовувати визначення синуса через гострі кути прямокутного трикутника. Розгляньте той же трикутник, що і в попередньому кроці. Синус кута нахилу апофеми до основи за визначенням дорівнює відношенню довжини протилежного катета (висоти піраміди) до гіпотенузи (апофеме). З цього випливає, що для розрахунку шуканої величини досить помножити апофему на синус кута нахилу: H = h * sin ( ).

Якщо відома площа підстави тетраедра (S) і його обсяг (V), то для обчислення висоти (H) можна задіяти спільну для всіх типів пірамід формулу, що зв`язує ці параметри. Делите потроєний обсяг на площу основи - отриманий результат і буде висотою піраміди: H = 3 * V / S.

Якщо площа підстави невідома з умов завдання, а дані лише обсяг (V) і довжина ребра (a) багатогранника, то відсутню змінну у формулі з попереднього кроку можна замінити її еквівалентом, вираженим через довжину ребра. Площа правильного трикутника (він, як ви пам`ятаєте, лежить в основі піраміди розглянутого типу) дорівнює одній чверті від твору квадратного кореня з трійки на зведену в квадрат довжину сторони. Підставте цей вираз замість площі підстави в формулу з попереднього кроку, і отримаєте такий результат: H = 3 * V * 4 / (a * 3) = 12 * V / (a * 3).

Оскільки обсяг тетраедра теж можна висловити через довжину ребра, то з формули обчислення висоти фігури можна взагалі прибрати всі змінні, залишивши лише бік її трикутної грані. Обсяг цієї піраміди обчислюється діленням на 12 твори квадратного кореня з двійки на зведену в куб довжину грані. Підставте цей вираз у формулу з попереднього кроку, і отримаєте в результаті: H = 12 * (a * 2 / 12) / (a * 3) = (a * 2) / (a * 3) = a * = * a * 6.

Правильну трикутну призму можна вписати в сферу, а знаючи тільки її радіус (R) можна обчислити і висоту тетраедра. Довжина ребра дорівнює учетверенному співвідношенню радіусу і квадратного кореня з шістки. Замініть цим виразом змінну a у формулі з попереднього кроку і отримаєте таке рівність: H = * 6 * 4 * R / 6 = 4 * r / 3.

Аналогічну формулу можна отримати і знаючи радіус (r) вписаною в тетраедр окружності. У цьому випадку довжина ребра дорівнюватиме дванадцяти співвідношенням між радіусом і квадратним коренем з шістки. Підставте цей вираз у формулу з третього кроку: H = * a * 6 = * 6 * 12 * R / 6 = 4 * R.