Як побудувати графік функції
Малюємо картинки з математичним змістом, а, точніше, вчимося будувати графіки функцій. Розглянемо алгоритм побудови.
1
Дослідити область визначення (допустимі значення аргументу x) і область значень (допустимі значення самої функції y (x)). Найпростіші обмеження - це присутність в вираженні тригонометричні функцій, коренів або дроби зі змінною в знаменнику.
2
Подивитися, чи є функція парною або непарною (тобто перевірити її симетричність щодо осей координат), або періодичної (в цьому випадку складові частини графіка будуть повторюватися).
3
Дослідити нулі функції, тобто перетину з осями координат: чи є вони, і якщо є, то зазначити характерні точки на заготівлі графіка, а також дослідити інтервали знакопостоянства.
4
Знайти асимптоти графіка функції, вертикальні і похилі.
Для знаходження вертикальних асимптот досліджуються точки розриву зліва і справа, для знаходження похилих асимптот межа окремо на плюс нескінченності і мінус нескінченності відносини функції до х, тобто межа від f (x) / x. Якщо він кінцевий, то це коефіцієнт k з рівняння дотичній (y = kx + b). Щоб знайти b, потрібно знайти межа на нескінченності в ту ж сторону (тобто якщо k на плюс нескінченності, то і b на плюс нескінченності) від різниці (f (x) -kx). Підставляємо b в рівняння дотичної. Якщо k або b знайти не вдалося, тобто межа дорівнює нескінченності або не існує, то асимптот немає.
Для знаходження вертикальних асимптот досліджуються точки розриву зліва і справа, для знаходження похилих асимптот межа окремо на плюс нескінченності і мінус нескінченності відносини функції до х, тобто межа від f (x) / x. Якщо він кінцевий, то це коефіцієнт k з рівняння дотичній (y = kx + b). Щоб знайти b, потрібно знайти межа на нескінченності в ту ж сторону (тобто якщо k на плюс нескінченності, то і b на плюс нескінченності) від різниці (f (x) -kx). Підставляємо b в рівняння дотичної. Якщо k або b знайти не вдалося, тобто межа дорівнює нескінченності або не існує, то асимптот немає.
5
Знайти першу похідну від функції. Знайти значення функції в отриманих точках екстремуму, вказати області монотонного зростання / спадання функції.
Якщо f `(x) gt; 0 в кожній точці інтервалу (а, b), то функція f (x) зростає на цьому інтервалі.
Якщо f `(x) lt; 0 в кожній точці інтервалу (a, b), то функція f (x) спадає на цьому інтервалі.
Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з плюса на мінус, то x0 - точка максимуму.
Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з мінуса на плюс, то x0 - точка мінімуму.
Якщо f `(x) gt; 0 в кожній точці інтервалу (а, b), то функція f (x) зростає на цьому інтервалі.
Якщо f `(x) lt; 0 в кожній точці інтервалу (a, b), то функція f (x) спадає на цьому інтервалі.
Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з плюса на мінус, то x0 - точка максимуму.
Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з мінуса на плюс, то x0 - точка мінімуму.
6
Знайти другу похідну, тобто першу похідну від першої похідної.
Вона покаже опуклість / увігнутість і точки перегину. Знайти значення функції в точках перегину.
Якщо f `` (x) gt; 0 в кожній точці інтервалу (а, b), то функція f (x) буде увігнутою на цьому інтервалі.
Якщо f `` (x) lt; 0 в кожній точці інтервалу (а, b), то функція f (x) буде опуклою на цьому інтервалі.
Вона покаже опуклість / увігнутість і точки перегину. Знайти значення функції в точках перегину.
Якщо f `` (x) gt; 0 в кожній точці інтервалу (а, b), то функція f (x) буде увігнутою на цьому інтервалі.
Якщо f `` (x) lt; 0 в кожній точці інтервалу (а, b), то функція f (x) буде опуклою на цьому інтервалі.
Корисна порада
Можна для побудови зробити кілька проміжних картинок, щоб уникнути плутанини і втрати якихось даних і відміток на заготівлі графіка
Статті за темою "Як побудувати графік функції"
Оцініть, будь ласка статтю