Знайдіть вертикальні асимптоти. Нехай дана функція y = f (x). Знайдіть її область визначення і виділіть всі точки a, в яких ця функція не визначена. Підрахуйте межі lim (f (x)), коли x прагне до a, к (a + 0) або до (a-0). Якщо хоча б один такий межа дорівнює +&infin- (або -&infin-), то вертикальної асимптотой графіка функції f (x) буде пряма x = a. Обчисливши два односторонніх межі, ви визначите як поводиться функція при наближенні до асимптоти з різних сторін.

Вивчіть кілька прикладів. Нехай функція y = 1 / (x²--1). Підрахуйте межі lim (1 / (x²--1)), коли x прагне до (1 ± 0), (-1 ± 0). Функція має вертикальні асимптоти x = 1 і x = -1, так як ці межі рівні +&infin-. Нехай дана функція y = cos (1 / x). У цій функції немає вертикальної асимптоти x = 0, так як область зміни функції косинус відрізок [-1- +1] і її межа ніколи не буде дорівнює ±&infin- при будь-яких значеннях x.

Знайдіть тепер похилі асимптоти. Для цього підрахуйте межі k = lim (f (x) / x) і b = lim (f (x) -k-x) при x, що прагне до +&infin- (або -&infin-). Якщо вони існують, то похила асимптота графіка функції f (x) буде задана рівнянням прямої y = k-x + b. Якщо k = 0, пряма y = b називається горизонтальною асимптотой.

Розгляньте для найкращого розуміння наступний приклад. Нехай дана функція y = 2-x- (1 / x). Підрахуйте межа lim (2-x- (1 / x)) при x, що прагне до 0. Ця межа дорівнює &infin-. Тобто вертикальної асимптотой функції y = 2-x- (1 / x) буде пряма x = 0. Знайдіть коефіцієнти рівняння похилій асимптоти. Для цього підрахуйте межа k = lim ((2-x- (1 / x)) / x) = lim (2- (1 / x²-)) при x, що прагнуть до +&infin-, тобто виходить k = 2. І тепер підрахуйте межа b = lim (2-x- (1 / x) -kx) = lim (2-x- (1 / x) -2-x) = lim (-1 / x) при x, що прагне до +&infin-, тобто b = 0. Таким чином, похила асимптота даної функції задана рівнянням y = 2-x.

Зверніть увагу, що асимптота може перетинати криву. Наприклад, для функції y = x + e ^ (- x / 3) -sin (x) межа lim (x + e ^ (- x / 3) -sin (x)) = 1 при x, що прагне до &infin-, а lim (x + e ^ (- x / 3) -sin (x) -x) = 0 при x, що прагне до &infin-. Тобто асимптотой буде пряма y = x. Вона перетинає графік функції в декількох точках, наприклад, в точці x = 0.

асимптоти функції застосовуються для полегшення побудови її графіка, а також дослідження властивостей її поведінки. Асимптота - це пряма лінія, до якої наближається нескінченна гілка кривої, заданої функцією. Розрізняють вертикальні, похилі і горизонтальні асимптоти.

вертикальні асимптоти функції паралельні осі ординат, це прямі виду x = x0, де x0 - гранична точка області визначення. Граничної називається точка, в якій односторонні межі функції є нескінченними. Для того, щоб знайти асимптоти цього роду, потрібно досліджувати її поведінку, обчисливши межі.

Знайдіть вертикальну асимптоту функції f (х) = х / (4 • х - 1). Для початку визначте її область визначення. Це може бути тільки значення, при якому знаменник звертається в нуль, тобто вирішите рівняння 4 • х - 1 = 0 х = ± 1/2.

Обчисліть односторонні межі: lim_ (х -1 / 2) х / (4 • х - 1) = lim х / ((2 • х - 1) • (2 • х + 1)) = + .lim_ (х 1/2) х / (4 • х - 1) = - .

Таким чином, ви з`ясували, що обидва односторонніх межі є нескінченними. Отже, прямі х = 1/2 і х = -1 / 2 є вертикальними асимптотами.

Похилі асимптоти - це прямі виду k • х + b, в яких k = lim f / г і b = lim (f - k • х) при х . Така асимптота стане горизонтальною при k = 0 і b .

Дізнайтеся, чи має функція з попереднього прикладу похилі або горизонтальні асимптоти. Для цього визначте коефіцієнти рівняння прямої асимптоти через наступні межі: k = lim (х / (4 • х - 1)) / х = 0-b = lim (х / (4 • х - 1) - k • х) = lim х / (4 • х - 1) = 1/4.

Отже, у цій функції є і похила асимптота, а оскільки виконується умова нульового коефіцієнта k і b, що не рівного нескінченності, то вона горізонтальная.Ответ: функція х / (4 • х - 1) має дві вертикальні x = 1/2 x = -1/2 і одну горизонтальну у = 1/4 асимптоти.