Як знаходити косинус в трикутнику
Нерідко в геометричних (тригонометричних) завданнях потрібно знайти косинус кута в трикутнику, тому що косинус кута дозволяє однозначно визначити величину самого кута.
1
Щоб знайти косинус кута в трикутнику, довжини сторін якого відомі, можна скористатися теоремою косинусів. Відповідно до цієї теореми, квадрат довжини сторони довільного трикутника дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін без подвоєного твори довжин цих сторін на косинус кута між ними:
а? = b? + c? -2 * b * c * соs ?, де:
а, b, с - сторони трикутника (точніше їх довжини),
? - Кут, протилежний стороні а (його величина).
З наведеного рівності легко знаходиться соs ?:
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c)
Приклад 1.
Є трикутник зі сторонами а, b, с, рівними 3, 4, 5 мм, відповідно.
знайти косинус кута, укладеного між великими сторонами.
Рішення:
За умовою завдання маємо:
а = 3,
b = 4,
з = 5.
Позначимо протилежний стороні а кут через?, Тоді, відповідно до виведеної вище формулою, маємо:
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25-9) / 40 = 32/40 = 0,8
Відповідь: 0,8.
а? = b? + c? -2 * b * c * соs ?, де:
а, b, с - сторони трикутника (точніше їх довжини),
? - Кут, протилежний стороні а (його величина).
З наведеного рівності легко знаходиться соs ?:
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c)
Приклад 1.
Є трикутник зі сторонами а, b, с, рівними 3, 4, 5 мм, відповідно.
знайти косинус кута, укладеного між великими сторонами.
Рішення:
За умовою завдання маємо:
а = 3,
b = 4,
з = 5.
Позначимо протилежний стороні а кут через?, Тоді, відповідно до виведеної вище формулою, маємо:
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25-9) / 40 = 32/40 = 0,8
Відповідь: 0,8.
2
Якщо трикутник прямокутний, то для знаходження косинуса кута досить знати довжини всього двох будь-яких сторін (косинус прямого кута дорівнює 0).
Нехай є прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с - гіпотенуза.
Розглянемо всі варіанти:
Приклад 2.
Знайти соs ?, якщо відомі довжини сторін а і b (катети трикутника)
Скористаємося додатково теоремою Піфагора:
c? = b? + а ?,
з = v (b? + а?)
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?) / (2 * b * v (b? + а?)) = (2 * b?) / (2 * b * v (b? + а?)) = b / v (b? + а?)
Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто
а = 3,
b = 4.
Проробивши елементарні обчислення, отримуємо:
соs? = 0,8.
Нехай є прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с - гіпотенуза.
Розглянемо всі варіанти:
Приклад 2.
Знайти соs ?, якщо відомі довжини сторін а і b (катети трикутника)
Скористаємося додатково теоремою Піфагора:
c? = b? + а ?,
з = v (b? + а?)
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?) / (2 * b * v (b? + а?)) = (2 * b?) / (2 * b * v (b? + а?)) = b / v (b? + а?)
Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто
а = 3,
b = 4.
Проробивши елементарні обчислення, отримуємо:
соs? = 0,8.
3
аналогічно знаходиться косинус в прямокутному трикутнику в інших випадках:
Приклад 3.
Відомі а й з (гіпотенуза і протилежний катет), знайти соs?
b? = з? -а ?,
b = v (c? -а?)
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (с? -а? + с? -а?) / (2 * с * v (з? -а?)) = (2 * с? -2 * а?) / (2 * с * v (з? -а?)) = v (з? -а?) / с.
Підставляючи значення а = 3 і з = 5 з першого прикладу, отримуємо:
соs? = 0,8.
Приклад 3.
Відомі а й з (гіпотенуза і протилежний катет), знайти соs?
b? = з? -а ?,
b = v (c? -а?)
соs? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (с? -а? + с? -а?) / (2 * с * v (з? -а?)) = (2 * с? -2 * а?) / (2 * с * v (з? -а?)) = v (з? -а?) / с.
Підставляючи значення а = 3 і з = 5 з першого прикладу, отримуємо:
соs? = 0,8.
4
Приклад 4.
Відомі b і с (гіпотенуза і прилегла катет).
Знайти соs?
Провівши аналогічні (показані в прикладах 2 і 3 перетворення), отримаємо, що в цьому випадку косинус в трикутнику обчислюється за дуже простою формулою:
соs? = b / с.
Простота виведеної формули пояснюється елементарно: фактично, прилегла до кута? катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на соs ?.
Підставляючи значення b = 4 і з = 5 з першого прикладу, отримаємо:
соs? = 0,8
Значить, всі наші формули вірні.
Відомі b і с (гіпотенуза і прилегла катет).
Знайти соs?
Провівши аналогічні (показані в прикладах 2 і 3 перетворення), отримаємо, що в цьому випадку косинус в трикутнику обчислюється за дуже простою формулою:
соs? = b / с.
Простота виведеної формули пояснюється елементарно: фактично, прилегла до кута? катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на соs ?.
Підставляючи значення b = 4 і з = 5 з першого прикладу, отримаємо:
соs? = 0,8
Значить, всі наші формули вірні.
Статті за темою "Як знаходити косинус в трикутнику"
Оцініть, будь ласка статтю