Як вирішувати параметри

З параметрами можуть бути як рівняння, так і нерівності. В тому і іншому випадку ми мусимо висловити ікс.

Просто в такому типі прикладів це буде зроблено не явно, а через цей самий параметр.
Сам по собі параметр, точніше, його значення - це число. Зазвичай параметри позначають буквою а. Але проблема в тому, що ми не знаємо ні його модуля, ні знака. Звідси виникають труднощі при роботі з нерівностями або розкритті модулів.

Проте, можна (але обережно, попередньо зазначивши всі можливі обмеження) застосовувати всі звичайні методи роботи з рівняннями і нерівностями.
І, в принципі, сам вираз х через а зазвичай не забирає багато часу і сил.
А ось написання повної відповіді - це куди більш копітка і трудомісткий процес.

Справа в тому, що в зв`язку з незнанням значення параметра, ми зобов`язані розглянути всі можливі випадки для всіх значень а від мінус до плюс нескінченності.
Тут нам дуже знадобиться графічний метод. Іноді його ще називають "розфарбування". Він полягає в тому, що ми в осях х (а) (або а (х) - як зручніше) зображуємо лінії, отримані в результаті перетворення нашого вихідного прикладу. І далі починаємо працювати з цими лініями: так як значення а не є фіксованим, то нам потрібно лінії, що містять в своєму рівнянні параметр зміщувати за графіком, паралельно відстежуючи і вираховуючи точки перетину з іншими лініями, а також аналізуючи знаки областей: підходять вони нам чи немає. Відповідні для зручності і наочності будемо заштриховувати.
Таким чином, ми проходимо всю числову вісь від мінус до плюс нескінченності, перевіривши відповідь для всіх а.

Сам же відповідь записується аналогічно відповіді для методу інтервалів з деяким застереженням: ми не просто вказуємо сукупність рішень для х, а пишемо, якого безлічі значень а відповідає яке безліч значень х.

Найпростіший тип завдань з параметрами - завдання на квадратний тричлен A · x + B · x + C. Параметричної величиною може стати будь-який з коефіцієнтів рівняння: A, B або C. Знайти корені квадратного тричлена для кожного з значень параметра - значить вирішити квадратне рівняння A · x + B · x + C = 0, перебравши кожне з можливих значень нефіксованим величини.

В принципі, якщо в рівнянні A · x + B · x + C = 0 є параметром старший коефіцієнт A, то воно буде квадратним лише тоді, коли A 0. При A = 0 воно вироджується в лінійне рівняння B · x + C = 0, має один корінь: x = -C / B. Тому перевірка умови A 0, A = 0 повинна йти першим пунктом.

Квадратне рівняння має дійсні корені при неотрицательна дискримінант D = B -4 · A · C. При Dgt; 0 воно має два різних кореня, при D = 0 тільки один. Нарешті, якщо D

Часто для вирішення завдань з параметрами застосовується теорема Вієта. Якщо квадратне рівняння A · x + B · x + C = 0 має корені x1 і x2, то для них вірна система: x1 + x2 = -B / A, x1 · x2 = C / A. Квадратне рівняння зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, називається наведеним: x + M · x + N = 0. Для нього теорема Вієта має спрощений вигляд: x1 + x2 = -M, x1 · x2 = N. Варто відзначити, що теорема Вієта вірна при наявності як одного, так і двох коренів.

Ті ж коріння, знайдені за допомогою теореми Вієта, можна підставити назад в запис рівняння: x - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0. Не плутайте: тут x - змінна, x1 і x2 - конкретні числа.

Часто допомагає при вирішенні метод розкладання на множники. Нехай рівняння A · x + B · x + C = 0 має корені x1 і x2. Тоді вірно тотожність A · x + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2). Якщо корінь єдиний, то можна просто сказати, що x1 = x2, і тоді A · x + B · x + C = A · (x-x1) .

Приклад. Знайдіть всі числа p і q, при яких корені рівняння x + p · + q = 0 рівні p і q.Рішення. Нехай p і q задовольняють умові завдання, тобто, є корінням. Тоді по теоремі Вієта: p + q = -p, pq = q.

Система еквівалентна сукупності p = 0, q = 0, або p = 1, q = -2. Тепер залишилося провести перевірку - переконатися, що отримані числа дійсно задовольняють умові завдання. Для цього потрібно просто підставити числа в вихідне рівняння.відповідь: p = 0, q = 0 або p = 1, q = -2.