Як вважати межі

В математичному аналізі існують поняття меж послідовностей і функцій. Там, де необхідно знайти межу послідовності, це записують наступним чином: lim xn = a. У такій послідовності послідовності xn прагне до a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Послідовності поділяються на зростаючі і спадні. наприклад:
xn = n ^ 2 - зростаюча послідовність
yn = 1 / n - спадна послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn = 1 / n ^ 2 дорівнює:
lim 1 / n ^ 2 = 0

x
Даний межа дорівнює нулю, оскільки n , а послідовність 1 / n ^ 2 наближається до нуля.

Зазвичай змінна величина x прагне до кінцевого межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують наступним чином: limx = a, при цьому, n також може прагнути як до нуля, так і до безкінечності. Існують нескінченні функції, для них межа прямує до нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією описується уповільнення ходу поїзда, можна говорити про межу, яка прагне до нуля.
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має тільки один межа. Це головна властивість межі. Інші їх властивості перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумі меж:
lim (x + y) = lim x + lim y
* Межа твори дорівнює добутку меж:
lim (xy) = lim x * lim y
* Межа приватного дорівнює приватному від меж:
lim (x / y) = lim x / lim y
* Постійний множник виносять за знак межі:
lim (Cx) = C lim x
Якщо дана функція 1 / x, в якій x , її межа дорівнює нулю. Якщо ж x 0, межа такої функції дорівнює .
Для тригонометричних функцій є винятки з цих правил. Так як функція sin x завжди прагне до одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедливо тотожність:
lim sin x / x = 1

x 0

У ряді завдань зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, при якій межа неможливо обчислити. Єдиним виходом з такої ситуації стає застосування правила Лопіталя. Існує два види невизначеностей:
* Невизначеність виду 0/0
* Невизначеність виду /
Наприклад, дано межа такого вигляду: lim f (x) / l (x), причому, f (x0) = l (x0) = 0. В такому випадку, виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такого завдання обидві функції піддають диференціюванню, після чого знаходять межа результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f (x) / l (x) = lim f `(x) / l` (x) (при x 0)
Це ж правило справедливо і для невизначеностей типу / . Але в цьому випадку справедливо рівність: f (x) = l (x) =
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, в яких фігурують невизначеності. Обов`язкова умова при

тому - відсутність помилок при знаходженні похідних. Так, наприклад, похідна функції (x ^ 2) `дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:
f `(x) = nx ^ (n-1)

Підставте граничну точку (прагне до якого-небудь числа «х») в вираз після знака межі. Такий спосіб найбільш простий і економить багато часу, оскільки в результаті виходить однозначне число. Якщо ж виникають невизначеності, то слід скористатися наступними пунктами.

Пам`ятайте визначення похідної. З нього випливає, що швидкість зміни функції нерозривно пов`язана з межею. Отже, обчислюйте будь межа через похідну за правилом Бернуллі-Лопіталя: межа двох функцій дорівнює відношенню їх похідних.

Скоротіть кожний доданок на старшу ступінь змінної, що стоїть в знаменнику. В результаті обчислень у вас вийде або нескінченність (якщо старша ступінь знаменника більше такої ж міри чисельника), або нуль (навпаки), або деяке число.

Спробуйте розкласти дріб на множники. Правило ефективно при невизначеності виду 0/0.

Помножте чисельник і знаменник дробу на поєднане вираз, особливо якщо після «lim» є коріння, що дають невизначеність виду 0/0. В результаті вийде різницю квадратів без ірраціональності. Наприклад, якщо в чисельнику стоїть ірраціональне вираз (2 кореня), то потрібно помножити на рівне йому, з протилежним знаком. З знаменника коріння не підуть, однак їх можна буде порахувати, виконавши п.1.