Як порахувати межа
межею функції f (x) при x, що прагне до деякого числа a, називається таке число b, коли для кожного позитивного числа можна вказати позитивне число , що задовольняє умові: якщо | x - a | lt; , то | f (x) - b | lt; . Завдання обчислення границі часто зустрічається в математичному аналізі.
1
Межа функції f (x) в точці a будемо позначати lim (f (x)), x a.
2
Для будь-якої функції, неперервної в точці a, lim (f (x)), x a = f (a).
3
Межа суми функцій при x a дорівнює сумі меж цих функцій при x a, тобто lim (f (x) + g (x)), x a = lim (f (x)), x a + lim ( g (x)), x a.Напрімер, lim (3x ^ 2 + 8x), x 2 дорівнює lim (3x ^ 2), x 2 + lim (8x), x 2 = 12 + 16 = 28 .
4
Межа твори функцій при x a дорівнює добутку меж цих функцій при x a, тобто lim (f (x) * g (x)), x a = (lim (f (x)), x a) * (lim (g (x)), x a) .Наприклад, lim (sin (x) * cos (x)), x 0 дорівнює (lim (sin (x)), x 0) * (lim ( cos (x)), x 0) = 0 * 1 = 0.
5
Аналогічно, межа частки функцій при x a дорівнює частці від ділення їх меж, але тільки в тому випадку, якщо межа знаменника не дорівнює нулю: lim (f (x) / g (x)), x a = (lim (f (x)), x a) / (lim (g (x)), x a), якщо lim (g (x)), x a 0.Напрімер, lim ((5x + 8) / ( x - 2)), x 4 дорівнює (lim (5x + 8), x 4) / (lim (x - 2), x 4) = 28/2 = 14.
6
Якщо lim (f (x)), x a = 0 і lim (g (x)), x a = 0, то, обчислюючи межу приватного цих функцій в точці a, ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0. Щоб її усунути, потрібно постаратися розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити ті з них, які звертаються в нуль при x = a.Напрімер, нехай потрібно знайти lim ((x ^ 2 - 9) / (x - 3)), x 3. Спрощуючи дріб, ви отримаєте (x ^ 2 - 9) / (x - 3) = ((x - 3) * (x + 3)) / (x - 3) = x + 3. Отже, шуканий межа дорівнює lim (x + 3), x 3 = 6.
7
Якщо lim (f (x)), x a = ± і lim (g (x)), x a = ± , то при обчисленні межі приватного цих функцій в точці a вам доведеться усунути невизначеність типу / . Це можна зробити, спростивши вираз, як і в попередньому випадку. Інший спосіб розкриття невизначеності полягає в тому, щоб розділити чисельник і знаменник на x найбільшою мірою, присутньої в вираженні, а після цього спробувати обчислити межа згідно з наведеними вище правилами.
8
Якщо чисельник і знаменник приватного f (x) / g (x) одночасно прагнуть до нуля або нескінченності при x a, то для розкриття невизначеності можна скористатися правилом Лопіталя. Згідно з цим правилом, межа частки функцій в точці a дорівнює межі приватного їх похідних в тій же точці, тобто lim (f (x) / g (x)), x a = lim (f `(x) / g` ( x)), x a.Напрімер, нехай потрібно обчислити lim (x ^ 2 / (x - 5)), x . Диференціюючи обидві функції, ви отримаєте (x ^ 2) `/ (x-5)` = 2x / 1 = 2x. Межа цієї функції при x дорівнює .
Статті за темою "Як порахувати межа"
Оцініть, будь ласка статтю