Як знайти середню лінію трикутника

Нехай в трикутнику ABC MN - середня лінія, що з`єднує середини сторін AB (точка M) і AC (точка N).

По властивості середня лінія трикутника, що з`єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині. Значить, середня лінія MN буде паралельна стороні BC і дорівнює BC / 2.

Отже, для визначення довжини середньої лінії трикутника досить знати довжину сторони саме цієї третьої сторони.

Нехай тепер відомі боку, середини яких з`єднує середня лінія MN, тобто AB і AC, а також кут BAC між ними. Так як MN - середня лінія, то AM = AB / 2, а AN = AC / 2.

Тоді по теоремі косинусів справедливо: MN ^ 2 = (AM ^ 2) + (AN ^ 2) -2 * AM * AN * cos (BAC) = (AB ^ 2/4) + (AC ^ 2/4) -AB * AC * cos (BAC) / 2. Звідси, MN = sqrt ((AB ^ 2/4) + (AC ^ 2/4) -AB * AC * cos (BAC) / 2).

Якщо відомі боку AB і AC, то середню лінію MN можна знайти, знаючи кут ABC або ACB. Нехай, наприклад, відомий кут ABC. Так як по властивості середньої лінії MN паралельна BC, то кути ABC і AMN - відповідні, і, отже, ABC = AMN. Тоді по теоремі косинусів: AN ^ 2 = AC ^ 2/4 = (AM ^ 2) + (MN ^ 2) -2 * AM * MN * cos (AMN). Отже, сторону MN можна знайти з квадратного рівняння (MN ^ 2) -AB * MN * cos (ABC) - (AC ^ 2/4) = 0.