У завданнях по планіметрії доводиться знаходити площа багатокутника, вписаного в коло або описаного біля нього. Багатокутник вважається описаним близько кола, якщо він знаходиться зовні, а його боку стосуються окружності. Багатокутник, що знаходиться всередині кола, вважається вписаним в нього, якщо його вершини лежать на окружності кола. Якщо в задачі дано трикутник, який вписаний в окружність, все три його вершини стосуються окружності. Залежно від того, який саме розглядається трикутник, і вибирається спосіб вирішення завдання.

Найбільш простий випадок виникає, коли в коло вписаний правильний трикутник. Оскільки у такого трикутника всі сторони рівні, радіус кола дорівнює половині його висоти. Тому, знаючи боку трикутника, можна знайти його площу. Обчислити цю площу в даному випадку можна будь-яким із способів, наприклад:
R = abc / 4S, де S - площа трикутника, a, b, c - сторони трикутника

S = 0,25 (R / abc)

Інша ситуація виникає, коли трикутник - рівнобедрений. Якщо підстава трикутника збігається з лінією діаметра окружності або діаметр одночасно є і висотою трикутника, площа можна обчислити за наступними чином:
S = 1 / 2h * AC, де AC - підстава трикутника
Якщо відомий радіус кола рівнобедреного трикутника, його кути, а також підстава, що збігається з діаметром кола, по теоремі Піфагора може бути знайдена невідома висота. Площа трикутника, основа якого збігається з діаметром кола, дорівнює:
S = R * h
В іншому випадку, коли висота дорівнює діаметру кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, його площа дорівнює:
S = R * AC

У ряді завдань в окружність уписаний прямокутний трикутник. В такому випадку, центр окружності лежить на середині гіпотенузи. Знаючи кути і знайшовши підставу трикутника, можна обчислити площу будь-яким з описаних вище способів.
В інших випадках, особливо, коли трикутник є гострокутним або тупоугольние, може бути застосована лише перша із зазначених вище формул.

Коло називається вписаною в багатокутник, якщо має спільну точку з кожною стороною описаної фігури. Центр вписаною в багатокутник кола завжди лежить в точці перетину бісектрис його внутрішніх кутів. Площа, обмежена окружністю, визначається формулою S = * r ,
де r - радіус кола,
- число «Пі» - математична постійна, рівна 3,14.

Для кола, вписаного в геометричну фігуру, радіус дорівнює відрізку від центру до точки дотику зі стороною фігури. Отже, можна визначити залежність між радіусом вписаного в багатокутник кола і елементами даної фігури і висловити площа кола через параметри описаного багатокутника.

У будь-який трикутник можливо вписати єдину окружність з радіусом, що визначаються формулою: r = s / p ,
де r - радіус вписаного кола,
s - площа трикутника,
p - напівпериметр трикутника.

Підставте отримане значення радіусу, виражене через елементи описаного близько окружності трикутника, в формулу площі кола. Тоді площа S кола, вписаного в трикутник з площею s і напівпериметр p обчислюється за формулою:
S = * (s / p ) .

Окружність можна вписати в опуклий чотирикутник за умови, що в ньому рівні суми протилежних сторін.
Площа S кола, вписаного в квадрат зі стороною a, дорівнює: S = * a / 4.

У ромбі площа S вписаного кола дорівнює: S = * (d d / 4a) . У цій формулі d і d - діагоналі ромба, а - сторона ромба.
Для трапеції площа S вписаною в неї кола визначається за формулою: S = * (h / 2) , де h - висота трапеції.

Сторона а правильного шестикутника дорівнює радіусу вписаного в нього кола, площа S кола обчислюється за формулою: S = * a .

Окружність можна вписати в правильний багатокутник з будь-якою кількістю сторін. Загальна формула для визначення радіуса r кола, вписаного в багатокутник зі стороною а і числом сторін n: r = a / 2tg (360 ° / 2n). Площа S вписаною в такий багатокутник кола: S = * (a / 2tg (360 ° / 2n) / 2.