Нехай дві прямі в просторі задані канонічними рівняннями: (x-x1) / q1 = (y-y1) / w1 = (z-z1) / e1- (x-x2) / q2 = (y-y2) / w2 = ( z-z2) / e2.

Числа q, w і e, представлені в знаменниках, є координатами напрямних векторів до цих прямим. Напрямних називають такий ненульовий вектор, який лежить на даній прямий або паралельний їй.

Косинус кута між прямими має формулу: cos = ± (q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2) / [(q1) + (w1) + (e1) ] · [(q2) + (w2 ) + (e2) ].

Прямі, задані канонічними рівняннями, взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх направляючі вектори ортогональні. Тобто, кут між прямими (він же - кут між напрямними векторами) дорівнює 90 °. Косинус кута в цьому випадку наближається до нуля. Оскільки косинус виражений дробом, то його рівність нулю еквівалентно нульового знаменника. У координатах це запишеться так: q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2 = 0.

Для прямих на площині ланцюжок міркувань виглядає аналогічно, але умова перпендикулярності запишеться трохи більше спрощено: q1 · q2 + w1 · w2 = 0, тому що третя координата відсутня.

Нехай тепер прямі задані загальними рівняннями: J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0-J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.

Тут коефіцієнти J, K, L - це координати нормальних векторів. Нормаль - це одиничний вектор, перпендикулярний до прямий.

Косинус кута між прямими тепер запишеться в такому вигляді: cos = (J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2) / [(J1) + (K1) + (L1) ] · [(J2) + (K2) + (L2) ].

Прямі взаємно перпендикулярні в тому випадку, якщо нормальні вектори ортогональні. У векторному вигляді, відповідно, ця умова виглядає так: J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2 = 0.

Прямі на площині, задані загальними рівняннями, перпендикулярні, коли J1 · J2 + K1 · K2 = 0.

На малюнку ми вибрали точки А і B. Зручно вибирати точки перетину з осями. Двох точок досить для того, щоб точно визначити пряму.

Знайдіть координати обраних точок. Для цього опустіть перпендикуляри від точок на осі координат і запишіть цифри зі шкали. Так для точки B з нашого прикладу координата x дорівнює -2, а координата y - 0. Аналогічним чином для точки А координати будуть (2-3).

Відомо що рівняння прямий має вигляд y = kx + b. підставляємо в рівняння в загальному вигляді координати обраних точок, тоді для точки A отримаємо таке рівняння: 3 = 2k + b. Для точки B отримаємо інше рівняння: 0 = -2k + b. Очевидно, що у нас система з двох рівнянь з двома невідомими: k і b.

Далі вирішуємо систему будь-яким зручним способом. У нашому випадку можна скласти рівняння системи, так як невідома k входить в обидва рівняння з коефіцієнтами, які однакові за модулем, але протилежні за знаком. Тоді отримаємо 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, або, що те ж: 3 = 2b. Таким чином b = 3/2. Підставами знайдене значення b в будь-який з рівнянь, щоб знайти k. Тоді 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

Підставами знайдені k і b в рівняння загального вигляду і отримаємо шукане рівняння прямий: Y = 3x / 4 + 3/2.