Знайдіть який-небудь короткий ознака лінійної незавісімості.Теорема. Система з т векторів простору R ^ n є лінійно незалежної тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з координат цих векторів дорівнює т.

Доведення. Використовуємо визначення лінійної незалежності, яке свідчить, що утворюють систему вектори лінійно незалежні (тоді і тільки тоді), якщо рівність нулю будь їх лінійної комбінації досяжною лише при рівності нулю всіх коефіцієнтів цієї комбінаціі.Далее см. Рис. 1, де все написано найбільш подробно.На рис.1 в шпальтах розташовані набори чисел xij, j = 1, 2, ..., n відповідні вектору xi, i = 1, ..., m.

Виконайте дії за правилами лінійних операцій в просторі R ^ n. Так як кожен вектор в R ^ n однозначно визначається упорядкованим набором чисел, прирівняти «координати» рівних векторів і отримаєте систему n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими a1, a2, ..., am (див. Рис.2).

Лінійна незалежність системи векторів (x1, x2, ..., xm) в силу еквівалентних перетворень еквівалентна тому, що однорідна система (рис. 2) має єдине нульове рішення. Спільна система тоді і тільки тоді має єдине рішення, коли ранг матриці (матриця системи складена з координат векторів (x1, x2, ..., xm) системи дорівнює числу невідомих, тобто n.Ітак, для того щоб обгрунтувати той факт, що вектори утворюють базис, слід скласти з їх координат визначник і переконатися, що він не дорівнює нулю.

Вибір базису лінійного простору можна здійснити за допомогою другого заслання, наведеної після статті. Шукати універсальна відповідь не варто. Підберіть систему векторів, а потім приведіть доказ її придатності в якості базису. Чи не пробуйте робити це алгоритмічно, в даному випадку треба йти іншим шляхом.

Довільний лінійний простір, в порівнянні з простором R , не багато властивостями. Проведіть додавання множення вектора на число R . Можна піти таким шляхом. Виміряйте довжини векторів і кути між ними. Розрахуйте величину площі, обсяги і відстань між об`єктами простору. Потім виконайте наступні маніпуляції. Накладіть на довільне простір склярное твір векторів x і у ((x, y) = x y + x y + ... + xnyn). Тепер його можна назвати Евклідовому. Воно становить величезну практичну цінність.

У довільному по розмірності базисі введіть поняття ортогональності. Якщо склярное твір векторів x і y дорівнює нулю, значить вони ортогональні. Така система векторів є лінійно незалежною.

Ортогональні функції в загальному випадку є нескінченновимірними. Попрацюйте з Евклідовому функціональним простором. Розкладіть по ортогональному базису e (t), e (t), e (t), ... вектора (функції) х (t). Уважно вивчіть результат. Знайдіть коефіцієнт (координат вектора х). Для цього коефіцієнт Фур`є помножте на вектор е (див. Малюнок). Отриману в результаті обчислень формулу можна назвати функціональним рядом Фур`є за системою ортогональних функцій.

Вивчіть систему функцій 1, sint, cost, sin2t, cos2t, ..., sinnt, cosnt, .... Визначте ортогональна вона на на на [- , ]. Виконайте перевірку. Для цього обчисліть склярние твори векторів. Якщо результат перевірки доводить ортогональность цієї тригонометричної системи, то вона є базисом в просторі C [- , ].