Довідковий матеріал.
Для початку дамо визначення дотичній. Дотичної до кривої в даній точці М називається граничне положення січної NM, коли точка N наближається вздовж кривої до точки М.

Знайдемо рівняння дотичної до графіка функції y = f (x).

Визначаємо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці М.
Крива, що представляє собою графік функції y = f (x), неперервна в деякій околиці точки М (включаючи саму точку М).

Проведемо січну MN1, що утворить з позитивним напрямком осі Ox кут .
Координати точки М (x- y), координати точки N1 (x + x- y + y).

З отриманого трикутника MN1N можна знайти кутовий коефіцієнт цієї січної:

tg = y / x

MN = x
NN1 = y

При прагненні точки N1 по кривій до точки M січна MN1 повертається навколо точки M, причому кут прагне до кута між дотичній MT і позитивним напрямом осі Ox.

k = tg = lim ( x 0) y / x = f` (x)

Таким чином, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції дорівнює значенню похідної цієї функції в точці дотику. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної до заданої кривої в заданій точці М має вигляд:

y - y0 = f` (x0) (x - x0),
де (x0- y0) - координати точки дотику,
(X- y) - поточні координати, тобто координати будь-якої точки, що належить дотичній,
f` (x0) = k = tg - кутовий коефіцієнт дотичної.

Знайдемо рівняння дотичної на прикладі.

Дан графік функції y = x2 - 2x. Потрібно знайти рівняння дотичної в точці з абсцисою x0 = 3.

З рівняння даної кривої знаходимо ординату точки дотику y0 = 32 - 2 3 = 3.

Знаходимо похідну, а потім обчислюємо її значення в точці x0 = 3.
маємо:
y` = 2x - 2
f` (3) = 2 3 - 2 = 4.

Тепер, знаючи точку (3 3) на кривій і кутовий коефіцієнт f` (3) = 4 дотичній в цій точці, отримуємо дані рівняння:
y - 3 = 4 (x - 3)
або
y - 4x + 9 = 0

Нехай дано функція y = f (x) і певна точка М з координатами а і f (a). І нехай відомо, що існує f `(a). Ссоставім рівняння дотичній. Це рівняння, як рівняння будь-який інший прямий, яка не паралельна осі ординат, має вигляд y = kx + m, тому для його складання необхідно знайти невідомі k і m. З кутовим коефіцієнтом все ясно. Якщо М належить графіку і якщо від неї можна провести дотичну, що не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт k дорівнює f `(a). Для обчислення невідомого m використовуємо те, що шукана пряма проходить через точку М. Отже, якщо підставити координати точки в рівняння прямої, то отримаємо вірне рівність f (a) = ka + m. звідси знаходимо, що m = f (a) -ka. Залишилося тільки підставити значення коефіцієнтів в рівняння прямої.

y = kx + m

y = kx + (f (a) -ka)

y = f (a) + f `(a) (x-a)

З цього випливає, що рівняння має вигляд y = f (a) + f `(a) (x-a).

Для того, щоб знайти рівняння дотичної до графіка використовують певний алгоритм. По-перше, позначте х буквою а. По-друге, обчисліть f (a). По-третє, знайдіть похідну від х і обчисліть f `(a). І нарешті, підставте знайдені а, f (a) і f `(a) в формулу y = f (a) + f` (a) (x-a).

Для того, щоб краще зрозуміти, як використовувати алгоритм, розгляньте наступне завдання. Складіть рівняння дотичної для функції y = 1 / x в точці х = 1.
Для вирішення цього завдання скористайтеся алгоритмом складання рівняння. Але при цьому враховуйте, що в даному прикладі дана функція f (x) = 2-х-х3, а = 0.

1. В умові задачі вказано значення точки а;

2. Отже, f (a) = 2-0-0 = 2;

3. f `(x) = 0-1-3х = -1-3х- f` (a) = - 1;

4. Підставте знайдені числа в рівняння дотичної до графіка:

y = f (a) + f `(a) (x-a) = 2 + (- 1) (х-0) = 2-х.

Відповідь: y = 2-х.