Як знайти дотичне рівняння
У підручнику 11 класу з алгебри учні проходять тему похідних. І ось в цьому великому параграфі особливу увагу приділено для з`ясування, що ж таке дотична до графіка, і як знайти і скласти її рівняння.
1
Нехай дано функція y = f (x) і певна точка М з координатами а і f (a). І нехай відомо, що існує f `(a). Ссоставім рівняння дотичній. Це рівняння, як рівняння будь-який інший прямий, яка не паралельна осі ординат, має вигляд y = kx + m, тому для його складання необхідно знайти невідомі k і m. З кутовим коефіцієнтом все ясно. Якщо М належить графіку і якщо від неї можна провести дотичну, що не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт k дорівнює f `(a). Для обчислення невідомого m використовуємо те, що шукана пряма проходить через точку М. Отже, якщо підставити координати точки в рівняння прямої, то отримаємо вірне рівність f (a) = ka + m. звідси знаходимо, що m = f (a) -ka. Залишилося тільки підставити значення коефіцієнтів в рівняння прямої.
y = kx + m
y = kx + (f (a) -ka)
y = f (a) + f `(a) (x-a)
З цього випливає, що рівняння має вигляд y = f (a) + f `(a) (x-a).
2
Для того, щоб знайти рівняння дотичної до графіка використовують певний алгоритм. По-перше, позначте х буквою а. По-друге, обчисліть f (a). По-третє, знайдіть похідну від х і обчисліть f `(a). І нарешті, підставте знайдені а, f (a) і f `(a) в формулу y = f (a) + f` (a) (x-a).
3
Для того, щоб краще зрозуміти, як використовувати алгоритм, розгляньте наступне завдання. Складіть рівняння дотичної для функції y = 1 / x в точці х = 1.
Для вирішення цього завдання скористайтеся алгоритмом складання рівняння. Але при цьому враховуйте, що в даному прикладі дана функція f (x) = 2-х-х3, а = 0.
Для вирішення цього завдання скористайтеся алгоритмом складання рівняння. Але при цьому враховуйте, що в даному прикладі дана функція f (x) = 2-х-х3, а = 0.
1. В умові задачі вказано значення точки а;
2. Отже, f (a) = 2-0-0 = 2;
3. f `(x) = 0-1-3х = -1-3х- f` (a) = - 1;
4. Підставте знайдені числа в рівняння дотичної до графіка:
y = f (a) + f `(a) (x-a) = 2 + (- 1) (х-0) = 2-х.
Відповідь: y = 2-х.
Корисна порада
Для підтвердження ви можете побудувати графік функції і знайденої прямій.
Статті за темою "Як знайти дотичне рівняння"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу