Знайдіть довжини векторів, якщо задані їх координати. Нехай, наприклад, вектор A має координати (a1, a2) на площині. Тоді довжина вектора A дорівнює | A | = (a1 + a2 ). Аналогічно знаходиться модуль вектора B: | B | = (b1 + b2 ), де b1 і b2 - координати вектора B на площині.

Площа паралелограма знаходиться за формулою S = | A | • | B | • sin (A ^ B), де A ^ B - кут між заданими векторами A і B. Синус можна знайти через косинус, використовуючи основне тригонометричну тотожність: sin + cos = 1. Косинус же можна висловити через скалярний добуток векторів, записане в координатах.

Скалярний добуток вектора A на вектор B позначається як (A, B). За визначенням, воно дорівнює (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). А в координатах скалярний твір записується так: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Звідси можна висловити косинус кута між векторами: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / (a1 + a2 ) • (a2 + b2 ). У чисельнику - скалярний твір, в знаменнику - довжини векторів.

Тепер можна висловити синус з основного тригонометричного тотожності: sin = 1-cos , sin = ± (1-cos ). Якщо припустити, що кут між векторами - гострий, «мінус» при синусі можна відкинути, залишивши тільки знак «плюс», оскільки синус гострого кута може бути тільки позитивним (або нульовим при нульовому вугіллі, але тут кут ненульовий, це відображається в умови неколінеарності векторів).

Тепер треба підставити координатне вираз для косинуса в формулу синуса. Після цього залишиться лише записати результат в формулу площі паралелограма. Якщо все це зробити і спростити числове вираження, то вийде, що S = a1 • b2-a2 • b1. Таким чином, площа паралелограма, побудованого на векторах A (a1, a2) і B (b1, b2), знаходиться за формулою S = a1 • b2-a2 • b1.

Отриманий вираз є детермінантою матриці, складеної з координат векторів A і B: a1 a2b1 b2.

Дійсно, щоб отримати визначник матриці розмірності два, потрібно перемножити елементи головної діагоналі (a1, b2) і відняти з цього твір елементів побічної діагоналі (a2, b1).

Розгляньте механічну задачу, для вирішення якої потрібне векторний добуток. Як відомо, момент сили відносно центру дорівнює добутку цієї сили на її плече (див. Рис. 1а). Плече h в ситуації, представленої на малюнку визначається за формулою h = | OP | sin ( - ) = | OP | sin . Тут F прикладена до точці Р. З іншого боку Fh дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах ОР і F.

Сила F викликає обертання Р відносно 0. У результаті виходить вектор, спрямований по відомому правилу «гвинта». Тому твір Fh є модулем вектора моменту сили OMo, який перпендикулярний до площини, що містить вектори F і OMo.

За визначенням векторний добуток a і b - це вектор з, що позначається з = [а, b] (є й інші позначення, найчастіше через перемноження «хрестиком»). З повинен відповідати таким властивостям: 1) з ортогонален (перпендикулярний) а й b-2) | c | = | a || b | sinф, де ф кут між а і b-3) трійка веторов а, b і з права, тобто найкоротший поворот від a до b проводиться проти годинникової стрілки.

Не вдаючись в подробиці, слід зазначити, що для векторного твори справедливі всі арифметичні дії крім властивості коммутативности (перестановки), тобто [а, b] не дорівнює [b, а] .Геометріческій сенс векторного твори: його модуль дорівнює площі паралелограма (див . рис. 1b).

Знаходження векторного твори согласнопо визначення часом досить важко. Щоб вирішити поставлену задачу, зручно використовувати дані в координатної формі. Нехай в декартових координатах: a (ax, ay, az) = ax * i + ay * j + az * k, ab (bx, by, bz) = bx * i + by * j + bz * k, де i, j, k - вектори-орт координатних осей.

В даному випадку множення за правилами розкриття дужок алгебраїчного виразу. При цьому врахуйте, що sin (0) = 0, sin ( / 2) = 1, sin (3 / 2) = - 1, модуль кожного орта дорівнює 1 і трійка i, j, k права, а самі вектори взаємно ортогональні . Тоді отримаєте: з = [а, b] = (ay * bz- az * by) i- (ax * bz- az * bx) j + (ax * by- ay * bx) k = с ((ay * bz- az * by), (az * bx- ax * bz), (ax * by- * bx)). (1) Ця формула і є правилом обчислення векторного добутку в координатній формі. Її недолік - громіздкість і, як наслідок, важка запам`ятовуваність.

Для спрощення методики обчислення векторного добутку використовуйте вектор визначник, представлений на малюнку 2.Із даних, наведених на малюнку, слід, що на наступному кроці розкриття цього визначника, яке велося за його першому рядку, як раз і виникає алгоритм (1). Як бачите, тут немає особливих проблем із запам`ятовуванням.