Як знайти зворотну матрицю
знаходження зворотної матриці вимагає навичок поводження з матрицями, зокрема, вміння обчислювати визначник і транспонувати.
Зворотній матриця знаходиться з елементів вихідної за формулою: A ^ -1 = A * / detA, де A * - приєднана матриця, detA - визначник вихідної матриці. Приєднана матриця - це транспонована матриця доповнень до елементів вихідної матриці.
2
Насамперед знайдіть визначник матриці, він повинен бути відмінний від нуля, так як далі визначник буде використовуватися в якості подільника. Нехай для прикладу дана квадратна матриця третього порядку (що складається з трьох рядків і трьох стовпців). Як видно, визначник нашої матриці не дорівнює нулю, тому існує зворотна матриця.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
3
Знайдіть доповнення до кожного елементу матриці A. Доповненням до A [i, j] називається визначник подматріци, отриманої з вихідної викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, причому цей визначник береться зі знаком. Знак визначається множенням визначника на (-1) в ступені i + j. Таким чином, наприклад, доповненням до A [2,1] буде визначник, розглянутий на малюнку. Знак вийшов так: (-1) ^ (2 + 1) = -1.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
4
В результаті ви отримаєте матрицю доповнень, тепер транспонується її. Транспонування - це операція, симетрична щодо головної діагоналі матриці, стовпці і рядки міняються місцями. Таким чином, ви знайшли приєднану матрицю A *.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
5
Тепер кожен елемент ділите на визначник вихідної матриці і отримаєте матрицю зворотний вихідної.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
Рада 2: Як отримати зворотну матрицю
Для кожної невиродженої (з визначником | A |, що не дорівнює нулю) квадратної матриці А існує єдина обернена матриця, що позначається А ^ (- 1), така, що (А ^ (- 1)) А = А, А ^ (- 1 ) = Е.
1
Е називається одиничною матрицею. Вона складається з одиниць на головній діагоналі - інше нулі. Обчислюється А ^ (- 1) наступним чином (див. Рис.1.). Тут А (ij) - алгебраїчне доповнення елемента а (ij) визначника матриці А. А (ij) отримують видаленням з | A | рядки і стовпці, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j) .Фактично приєднана матриця - це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів А. Транспонування - це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки). Tранспонірованная матриця позначається А ^ T.
2
Найпростішими є матриці розміру 2х2. Тут будь-алгебраїчне доповнення - просто протилежний по діагоналі елемент, взятий зі знаком «+», якщо сума індексів його номера парна, і зі знаком «-», якщо непарна. Таким чином, щоб записати зворотну матрицю, на головній діагоналі вихідної матриці, потрібно поміняти місцями її елементи, а на побічної діагоналі - залишити їх на місці, але змінити знак, а потім все поділити на | A |.
3
Приклад 1. Знайти зворотну матрицю A ^ (- 1), представлену на малюнку 2.
4
Визначник цієї матриці не дорівнює нулю (| A | = 6) (за правилом Саррюс, воно ж правило трикутників). Це істотно, так як А не повинна бути вироджених. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення матриці А і приєднану матрицю для А (див. рис. 3).
5
При більшої розмірності процес обчислення зворотної матриці стає занадто громіздким. Тому в таких випадках слід вдаватися до допомоги спеціалізованих комп`ютерних програм.
Статті за темою "Як знайти зворотну матрицю"
Оцініть, будь ласка статтю