Як знайти похідну

Зробіть функцію. Уявіть її в тому вигляді, в якому зручно брати похідну.

Візьміть похідну, використовуючи правила диференціювання і таблицю похідних. У ній знаходяться похідні основних елементарних функцій: лінійних, статечних, показових, логарифмічних, тригонометричних, зворотних тригонометричних. Похідні елементарних функцій бажано знати напам`ять.

Похідна постійної (незмінної) функції дорівнює нулю. Приклад незмінної функції: y = 5.

Правила диференціювання.
Нехай с - постійне число, u (x) і v (x) - деякі диференціюються.
1) (cu) `= cu`-

2) (u + v) `= u` + v`-

3) (u-v) `= u`-v`-

4) (uv) `= u`v + v`u-

5) (u / v) `= (u`v-v`u) / v ^ 2
У разі складної функції необхідно послідовно брати похідні елементарних функцій, що входять до складу складної функції, і множити їх. Враховуйте, що в складній функції одна функція є аргументом іншої функції.
Розглянемо приклад.
(Cos (5x-2)) `= cos` (5x-2) * (5x-2) `= - sin (5x-2) * 5 = -5sin (5x-2).
В даному прикладі ми послідовно беремо похідну функції косинуса з аргументом (5x-2) і похідну лінійної функції (5x-2) з аргументом x. Перемножуємо похідні.

Спростіть отриманий вираз.

Якщо необхідно знайти похідну функції в заданій точці, підставте значення цієї точки в отриманий вираз для похідної.

Перед тим як знаходити похідну кореня, зверніть увагу на інші функції, присутні в вирішуваному прикладі. Якщо в задачі є багато підкореневих виразів, то скористайтеся наступним правилом знаходження похідної квадратного кореня:

( х) `= 1 / 2 х.

А для знаходження похідної кубічного кореня застосуйте формулу:

( х) `= 1/3 ( х) ,

де через х позначений кубічний корінь з х.

Якщо в прикладі, призначеному для диференціювання, зустрічається змінна в дрібних ступенях, то переведіть позначення кореня в ступеневу функцію з відповідним показником. Для квадратного кореня це буде ступінь , а для кубічного кореня - :

х = х ^ ,
х = x ^ ,

де символ ^ позначає зведення в ступінь.

Для знаходження похідної степеневої функції взагалі і х ^ , x ^ , зокрема, скористайтеся наступним правилом:

(Х ^ n) `= n * x ^ (n-1).

Для похідною кореня з цього співвідношення випливає:

(Х ^ ) `= x ^ (- ) і
(X ^ ) `= x ^ (- ).

Продифференцировав все коріння, уважно подивіться на інші частини прикладу. Якщо у відповіді у вас вийшло дуже громіздке вираження, то напевно його можна спростити. Більшість шкільних прикладів складено таким чином, щоб в результаті вийшло невелике число або компактне вираз.

У багатьох задачах на знаходження похідної, коріння (квадратні і кубічні) зустрічаються разом з іншими функціями. Щоб знайти похідну кореня в цьому випадку, застосовуйте наступні правила:
• похідна константи (постійного числа, C) дорівнює нулю: C `= 0
• постійний множник виноситься за знак похідної: (k * f) `= k * (f)` (f - довільна функція) -
• похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних: (f + g) `= (f)` + (g) `-
• похідна добутку двох функцій дорівнює ... ні, не твору похідних, а наступного виразу: (fg) `= (f)` g + f (g) `-
• похідна приватного також дорівнює не приватній похідних, а знаходиться згідно наступного правила: (f / g) `= ((f)` g - f (g) `) / g .