Як знайти висоту піраміди
Будь-яке геометричне тіло може бути цікаво не тільки школяреві. У навколишньому світі досить часто зустрічаються предмети в формі піраміди. І це не тільки знамениті єгипетські гробниці. Часто говорять про цілющі властивості піраміди, і комусь напевно захочеться випробувати їх на собі. Але для цього треба знати її розміри, в тому числі висоту.
Вам знадобиться
- Математичні формули і поняття:
- Визначення висоти піраміди
- Ознаки подібності трикутників
- Властивості висоти трикутника
- Теорема синусів і косинусів
- Таблиці синусів і косинусів
- Інструменти:
- лінійка
- олівець
- транспортир
Інструкція
1
Згадайте, що таке висота піраміди. Це є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до її основи.
2
Побудуйте піраміду по заданих параметрах. Позначте її підставу латинськими буквами А, B, C, D ... в залежності від кількості кутів. Вершину піраміди позначте S.
3
Вам відомі боку, кути підстави і нахилу ребер до основи. Креслення вийде в проекції на площині, тому для вірності позначте на ньому відомі вам дані. З точки S опустіть висоту піраміди і позначте її h. Точку перетину висоти з основою піраміди обознчьте S1.
4
З вершини піраміди проведіть висоту будь бічній грані. Позначте точку її перетину з підставою, наприклад, А1. Згадайте властивості висоти остроугольного трикутника. Вона ділить трикутник на два подібних прямокутних трикутника. Обчисліть косинуси потрібних вам кутів за формулою
Cos (A) = (b2 + c2-a2) / (2 * b * c), де а, b і с - сторони трикутника, в даному випадку АSB (a = BA, b = AS, c = AB).
Обчисліть висоту бічної грані SA1 по косинусу кута АSA1, рівного кутку SBA з властивостей висоти трикутника, і відомому бічного ребра AS.
Cos (A) = (b2 + c2-a2) / (2 * b * c), де а, b і с - сторони трикутника, в даному випадку АSB (a = BA, b = AS, c = AB).
Обчисліть висоту бічної грані SA1 по косинусу кута АSA1, рівного кутку SBA з властивостей висоти трикутника, і відомому бічного ребра AS.
5
З`єднайте точки А1 і S1. У вас вийшов прямокутний трикутник, в якому вам відома гіпотенуза SA1 і кут нахилу бічної грані піраміди до її основи SA1S1. За теоремою синусів обчисліть катет SS1, який одночасно є і висотою піраміди.
Рада 2: Як розрахувати висоту правильної піраміди
Форму багатогранників, в тому числі, і піраміди, мають багато реальні об`єкти, наприклад, знамениті піраміди Єгипту. Дана геометрична фігура має кілька параметрів, основним з яких є висота.
1
Визначте, чи є піраміда, висоту якої вам необхідно знайти за умовами задачі, правильною. Такий вважається піраміда, у якій підставою є будь-який правильний багатокутник (має рівні сторони), а висота падає в центр підстави.
2
Перший випадок виникає, якщо в основі піраміди лежить квадрат. проведіть висоту, перпендикулярну площині підстави. В результаті цього, всередині піраміди вийде прямокутний трикутник. Його гіпотенуза є ребром піраміди, а більший катет - її висотою. Менший катет цього трикутника проходить через діагональ квадрата і чисельно дорівнює її половині. Якщо дано кут між ребром і площиною основи піраміди, а також одна зі сторін квадрата, то висоту піраміди в цьому випадку знайдіть, використовуючи властивості квадрата і теорему Піфагора. Катет дорівнює половині діагоналі. Оскільки сторона квадрата дорівнює a, і при цьому, діагональ дорівнює a 2, знайдіть гіпотенузу трикутника наступним чином: x = a 2 / 2cos
3
Відповідно, знаючи гіпотенузу і менший катет трикутника, по теоремі Піфагора виведіть формулу для знаходження висоти піраміди: H = [(a 2) / 2cos ] ^ 2 - [(a 2 / 2) ^ 2] = [a ^ 2/2 * (1-cos ^ 2 ) / cos ^ 2 ] = a * tg / 2, де [(1-cos ^ 2 ) / cos ^ 2 = tg ^ 2 ]
4
Якщо в основі піраміди є правильний трикутник, то її висота буде утворювати з ребром піраміди прямокутний трикутник. Менший катет проходить через висоту основи. У правильному трикутнику висота одночасно є і медіаной.Із властивостей правильного трикутника відомо, що менший його катет дорівнює a 3 / 3. Знаючи кут між ребром піраміди і площиною основи, знайдіть гіпотенузу (вона ж є ребром піраміди). Висоту піраміди визначте по теоремі Піфагора: H = (a 3 / 3cos ) ^ 2 (a 3 / 3) ^ 2 = a * tg / 3
5
У деяких пірамід підставою є п`яти- або шестикутник. Така піраміда також вважається правильною, якщо всі сторони її основи дорівнюють. Так наприклад, висоту п`ятикутника знаходите наступним чином: h = 5 + 2 5a / 2, де a - сторона пятіугольнікаЕтім властивістю скористайтеся для знаходження ребра піраміди, а потім і її висоти. Менший катет дорівнює половині цієї висоти: k = 5 + 2 5a / 4
6
Відповідно, гіпотенузу прямокутного трикутника знайдіть наступним чином: k / cos = 5 + 2 5a / 4cos Далее, як і в попередніх випадках, висоту піраміди знайдіть по теоремі Піфагора: H = [( 5 + 2 5a / 4cos ) ^ 2 ( 5 + 2 5a / 4) ^ 2]
Зверніть увагу
Для обчислення висоти будь піраміди необхідно спочатку обчислити один з бічних трикутників.
У правильній піраміді висота бічної грані називається апофемой і ділить сторону основи піраміди навпіл.
У правильній піраміді висота бічної грані називається апофемой і ділить сторону основи піраміди навпіл.
Корисна порада
У правильній піраміді всі сторони нахилені до основи під одним і тим же кутом, тому висоту піраміди можна обчислити і без побудови додаткових трикутників.
Висота бічної грані ділить її на 2 подібних прямокутних трикутника. Відповідно, кут SAB дорівнює куту А1SB.
Висота бічної грані ділить її на 2 подібних прямокутних трикутника. Відповідно, кут SAB дорівнює куту А1SB.
Статті за темою "Як знайти висоту піраміди"
Оцініть, будь ласка статтю