При першому знайомстві з рядами іноді дуже важко зрозуміти, як вони влаштовані. Тим більше проблематично вирішувати їх. Але з часом ви наберетеся досвіду і будете орієнтуватися в даному питанні.
Насамперед необхідно почати з самого елементарного, а саме з вивчення збіжності і розбіжність числових рядів. Дана тема є основоположною, тим фундаментом, без якого подальше просування буде неможливо.

Далі потрібно визначитися з поняттям часткової суми ряду. Відповідна послідовність існує завжди, але треба зуміти її не тільки побачити, а й правильно скласти. Потім вам буде потрібно знайти межа. Якщо він існує, то ряд буде збіжним. В іншому випадку - розбіжним. Це і буде вирішенням ряду.

Вельми часто на практиці зустрічаються ряди, які утворені з елементів геометричної прогресії. Вони називаються геометричними рядами. У цьому випадку, рішенням послужить один важливий факт. За умови, що знаменник геометричній прогресії менше одиниці, ряд буде збіжним. Якщо він більше або дорівнює одиниці, то розходяться.

Якщо ж рішення знайти не вдалося, ви можете скористатися необхідною ознакою збіжності рядів. Він говорить, що якщо числовий ряд сходиться, то межа часткових сум буде дорівнює нулю. Ознака не є достатнім, тому в зворотному напрямку не діє. Але зустрічаються приклади, в яких межа часткових сум виявиться рівним нулю, а значить, рішення знайдено, тобто збіжність ряду буде обґрунтована.

Дана теорема не завжди може бути застосована в складних ситуаціях. Може виявитися, що всі члени ряду позитивні. Для того, щоб відшукати його рішення, вам буде потрібно знайти область значення ряду. А потім, якщо послідовність часткових сум буде обмежена зверху, ряд буде збіжним. В іншому випадку - розбіжним.

Нехай є числова послідовність виду a_1, a_2, a_3, ..., a_n і деяка послідовність s_1, s_2, ..., s_k, де n і k прагнуть до , а елементи послідовності s_j представляють собою суми деяких членів послідовності a_i. Тоді послідовність a є числовим рядом, а s - послідовністю його часткових сум:
s_j = a_i, де 1 i j.

Завдання на рішення числових рядів зводяться до визначення його збіжності. Кажуть, що ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум і абсолютно сходиться, якщо послідовність модулів його часткових сум сходиться. І навпаки, якщо розходиться послідовність часткових сум ряду, то він розходиться.

Щоб довести збіжність послідовності часткових сум, необхідно перейти до поняття її межі, який називають сумою ряду:
S = lim_n _ (i = 1) ^ n a_i.

Якщо ця межа існує і він кінцевий, то ряд сходиться. Якщо він не існує або нескінченний, то ряд розходиться. Є ще один необхідний, але не достатній ознака збіжності ряду. Це загальний член ряду a_n. Якщо він прагне до нуля: lim a_i = 0 при I , то ряд сходиться. Ця умова розглядають в сукупності з аналізом інших ознак, тому що воно недостатнє, проте якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд однозначно розходиться.

Приклад 1.
Визначте відповідність низки 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n / (2 * n + 1) + ....
Рішення.
Застосуйте необхідний ознака збіжності - чи прагне загальний член до нуля:
lim a_i = lim n / (2 * n + 1) = .
Отже, a_i 0, отже, ряд розходиться.

Приклад 2.
Визначте відповідність низки 1 + + 1/3 + ... + 1 / n + ....
Рішення.
Чи прагне загальний член до нуля:
lim 1 / n = 0. Так, прагне, виконаний необхідний ознака збіжності, однак цього недостатньо. Тепер за допомогою межі послідовності сум спробуємо довести, що ряд розходиться:
s_n = _ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 + + 1/3 + ... + 1 / n. Послідовність сум, хоч і дуже повільно, але очевидно прагне до , отже, ряд розходиться.

Ознака збіжності Даламбера.
Нехай існує кінцевий межа відносини подальшого і попереднього членів ряду lim (a_ (n + 1) / a_n) = D. Тоді:
D lt; 1 - ряд сходиться;
D gt; 1 - ряд розходиться;
D = 1 - рішення невизначено, потрібно скористатися додатковою ознакою.

Радикальний ознака збіжності Коші.
Нехай існує кінцевий межа виду lim (n&a_n) = D. Тоді:
D lt; 1 - ряд сходиться;
D gt; 1 - ряд розходиться;
D = 1 - немає однозначної відповіді.

Ці дві ознаки можна використовувати в сукупності, проте ознака Коші сильніший. Існує також інтегральний ознака Коші, згідно з яким для визначення збіжності ряду необхідно знайти відповідний визначений інтеграл. Якщо він сходиться, то сходиться і ряд, і навпаки.